2015-安徽卷文-06 单-双曲线方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与其渐近线方程的关系，属于基础题。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(文)） 下列双曲线中，渐近线方程为 $y=\pm 2x$ 的是 ()

A. $x^2-\frac{y^2}{4}=1$　　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{4}-y^2=1$

C. $x^2-\frac{y^2}{2}=1$　　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{2}-y^2=1$

🔍【思路分析】

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1. 根据双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（焦点在 $x$ 轴上），其渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
2. 令渐近线斜率绝对值为 $2$，即 $\frac{b}{a}=2$，验证各选项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

• 对于选项 (A)：$a^2=1,b^2=4$，渐近线为 $y=\pm \frac{2}{1}x=\pm 2x$，符合题意；
• 对于选项 (B)：$a^2=4,b^2=1$，渐近线为 $y=\pm \frac{1}{2}x$；
• 对于选项 (C)：$a^2=1,b^2=2$，渐近线为 $y=\pm \sqrt{2}x$；
• 对于选项 (D)：$a^2=2,b^2=1$，渐近线为 $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线公式。
2. 核心方法：明确 $a,b$ 的对应位置，直接计算 $\frac{b}{a}$。
3. 避坑指南：注意焦点在 $y$ 轴与 $x$ 轴时渐近线中 $a,b$ 的位置区别。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆锥曲线基础性质考查。
2. 结论推广: 渐近线方程已知时可设双曲线系方程为 $b^2{x}^2-a^2{x}^2=\lambda$。

🔗【关联脉络】

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A

类题演练(Links)

• 2011-安徽卷理-02
• 2010-安徽卷理-05
• 2014-江西卷理-21 解-双曲线方程