2014-江西卷理-21 解-双曲线方程

本题导读

本题是解析几何综合大题。第一问通过直线位置关系（垂直、平行）求出双曲线方程参数；第二问考查直线与直线的交点计算，并证明线段比值为定值，需要较强的化简运算能力。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)）已知双曲线 $C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $A, B$ 分别在 $C$ 的两条渐近线上， $A F ⊥ x$ 轴， $A B ⊥ O B, B F ∥ O A$ ( $O$ 为坐标原点).

(1) 求双曲线 $C$ 的方程；

(2) 过 $C$ 上一点 $P (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq = 0)$ 的直线 $l : \frac{x _{0} x}{a ^{2}} - y_{0} y = 1$ 与直线 $A F$ 相交于点 $M$ ，与直线 $x = \frac{3}{2}$ 相交于点 $N$ ，证明点 $P$ 在 $C$ 上移动时， $\frac{M F}{N F}$ 恒为定值，并求此定值.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：

渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{a} x$ 。设 $F (c, 0)$ ，由于 $A F ⊥ x$ 轴，可求出 $A$ 点坐标。

利用 $B F ∥ O A$ 求出直线 $B F$ 的方程。

联立渐近线与 $B F$ 方程求出 $B$ 点坐标。

利用 $A B ⊥ O B$ （斜率乘积为 $- 1$ ）建立关于 $a, c$ 的方程，结合 $c^{2} = a^{2} + 1$ 求解。

第二问：

根据第一问结果确定直线 $l, A F$ 及 $x = \frac{3}{2}$ 的方程。

求出交点 $M, N$ 的坐标。

利用两点间距离公式写出 $M F^{2}$ 和 $N F^{2}$ 的表达式。

代入 $P$ 点在双曲线上的条件 $\frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} - y_{0}^{2} = 1$ 进行化简，求出比值。

✅【答案】

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$\frac{x ^{2}}{3} - y^{2} = 1$ ；求点 $M$ ；求点 $N$ ； $\frac{2 3}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解：双曲线 $C$ 的渐近线为 $l_{1} : y = \frac{1}{a} x$ ， $l_{2} : y = - \frac{1}{a} x$ 。设 $F (c, 0)$ 。因为 $A F ⊥ x$ 轴，点 $A$ 在渐近线上，故 $A (c, \frac{c}{a})$ ，且 $k_{O A} = \frac{1}{a}$ 。因为 $B F ∥ O A$ ，所以直线 $B F$ 的方程为 $y = \frac{1}{a} (x - c)$ 。联立 $y = \frac{1}{a} (x - c)$ 与 $y = - \frac{1}{a} x$ （点 $B$ 在另一条渐近线上）：解得 $B (\frac{c}{2}, - \frac{c}{2 a})$ 。

由此得 $k_{O B} = - \frac{1}{a}$ ， $k_{A B} = \frac{\frac{c}{a} - ( - \frac{c}{2 a} )}{c - \frac{c}{2}} = \frac{\frac{3 c}{2 a}}{\frac{c}{2}} = \frac{3}{a}$ 。因为 $A B ⊥ O B$ ，所以 $k_{A B} \cdot k_{O B} = - 1 ⟹ \frac{3}{a} \cdot (- \frac{1}{a}) = - 1 ⟹ a^{2} = 3$ 。故双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x ^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 。

(2) 证明：由(1)知 $a^{2} = 3, c^{2} = 3 + 1 = 4$ ，则 $F (2, 0)$ 。直线 $A F$ 的方程为 $x = 2$ 。直线 $l$ 的方程为 $\frac{x _{0} x}{3} - y_{0} y = 1$ 。

求点 $M$ ：令 $x = 2$ 代入 $l$ ，得 $\frac{2 x _{0}}{3} - y_{0} y = 1 ⟹ y = \frac{2 x _{0} - 3}{3 y _{0}}$ ，故 $M (2, \frac{2 x _{0} - 3}{3 y _{0}})$ 。

求点 $N$ ：令 $x = \frac{3}{2}$ 代入 $l$ ，得 $\frac{x _{0}}{2} - y_{0} y = 1 ⟹ y = \frac{x _{0} - 2}{2 y _{0}}$ ，故 $N (\frac{3}{2}, \frac{x _{0} - 2}{2 y _{0}})$ 。

计算距离平方： $M F^{2} = (2 - 2)^{2} + (\frac{2 x _{0} - 3}{3 y _{0}} - 0)^{2} = \frac{( 2 x _{0} - 3 ) ^{2}}{9 y _{0}^{2}}$ 。 $N F^{2} = (\frac{3}{2} - 2)^{2} + (\frac{x _{0} - 2}{2 y _{0}} - 0)^{2} = \frac{1}{4} + \frac{( x _{0} - 2 ) ^{2}}{4 y _{0}^{2}} = \frac{y _{0}^{2} + x _{0}^{2} - 4 x _{0} + 4}{4 y _{0}^{2}}$ 。

因为点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在双曲线 $\frac{x ^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 上，所以 $y_{0}^{2} = \frac{x _{0}^{2}}{3} - 1$ 。代入 $N F^{2}$ 的分子： $y_{0}^{2} + x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 4 = \frac{x _{0}^{2}}{3} - 1 + x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 4 = \frac{4 x _{0}^{2} - 12 x _{0} + 9}{3} = \frac{( 2 x _{0} - 3 ) ^{2}}{3}$ 。故 $N F^{2} = \frac{( 2 x _{0} - 3 ) ^{2}}{3} \cdot \frac{1}{4 y _{0}^{2}} = \frac{( 2 x _{0} - 3 ) ^{2}}{12 y _{0}^{2}}$ 。

计算比值： $\frac{M F ^{2}}{N F ^{2}} = \frac{( 2 x _{0} - 3 ) ^{2}}{9 y _{0}^{2}} \div \frac{( 2 x _{0} - 3 ) ^{2}}{12 y _{0}^{2}} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ 。所以 $\frac{M F}{N F} = \frac{4}{3} = \frac{2 3}{3}$ 。

故 $\frac{M F}{N F}$ 恒为定值 $\frac{2 3}{3}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的渐近线与方程、直线与双曲线的交点及定值证明。

核心方法：将几何语言翻译为坐标与斜率，证明定值时计算比值平方避开根号。

避坑指南：化简时务必灵活利用点在曲线上的方程 $y_{0}^{2} = \frac{x _{0}^{2}}{3} - 1$ ，这是消除变量的核心。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 直线系方程、焦半径公式。

结论推广: 此类比值恒定问题往往与圆锥曲线的第二定义（离心率定义）有深层联系。

方法推广: 面对定值证明，先算出特殊点（如顶点）的结果，再推广到一般点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

09.04 平面向量的坐标运算

09.01 平面向量基本概念

18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

2014-江西卷文-09 单-双曲线方程

2013-陕西卷理-11 填-双曲线方程

2013-湖北卷理-05 单-双曲线方程

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