2015-安徽卷文-08 单-直线与圆

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离公式建立关于参数的方程求值。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(文)） 直线 $3x+4y=b$ 与圆 $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ 相切，则 $b$ 的值是 ()

A. $-2$ 或 $12$　　　B. $2$ 或 $-12$　　　C. $-2$ 或 $-12$　　　D. $2$ 或 $12$

🔍【思路分析】

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1. 将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标和半径 $r$。
2. 利用直线与圆相切的条件：圆心到直线的距离 $d=r$，列出方程求解 $b$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

圆的方程 $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ 配方得： $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$， 故圆心坐标为 $(1,1)$，半径 $r=1$。 因为直线 $3x+4y-b=0$ 与圆相切， 所以圆心 $(1,1)$ 到该直线的距离等于半径 $1$： $d=\frac{|3(1)+4(1)-b|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|7-b|}{5}=1$， 即 $|7-b|=5$。 解得 $7-b=5$ 或 $7-b=-5$， 从而 $b=2$ 或 $b=12$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆相切、点到直线距离公式。
2. 核心方法：几何法（圆心距等于半径）。
3. 避坑指南：去绝对值时需考虑两种情况，切勿漏解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆锥曲线与直线基础交汇题。
2. 结论推广: 直线与圆相交时可利用弦长公式求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练(Links)

• 2014-安徽卷理-08 单-空间两直线所成的角
• 2014-安徽卷理-04 单-极坐标互化
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