2015-安徽卷文-15 填-向量线性运算

本题导读

本题考查平面向量的几何性质、模长、数量积及向量的垂直与平行，属于综合性较强的选择/填空压轴题。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(文)） $△ABC$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，已知向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 满足 $\overrightarrow{AB}=2\mathbf{a}$，$\overrightarrow{AC}=2\mathbf{a}+\mathbf{b}$，则下列结论中正确的是 $\underline{}$. （写出所有正确结论的序号） ① $\mathbf{a}$ 为单位向量； ② $\mathbf{b}$ 为单位向量； ③ $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$； ④ $\mathbf{b}\parallel \overrightarrow{BC}$； ⑤ $(4\mathbf{a}+\mathbf{b})\perp \overrightarrow{BC}$.

🔍【思路分析】

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1. 由 $\overrightarrow{AB}=2\mathbf{a}$ 且 $△ABC$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，求出 $|\mathbf{a}|$ 判断①。
2. 由 $\overrightarrow{AC}=2\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 变形得出 $\mathbf{b}=\overrightarrow{BC}$，进而判断②和④。
3. 结合等边三角形的几何性质，检验③中两向量的垂直关系及⑤中和向量与底边的垂直关系。

✅【答案】

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①④⑤

✍【详细解析】

Abstract

• 对于①：因为 $△ABC$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，所以 $|\overrightarrow{AB}|=2$。由 $\overrightarrow{AB}=2\mathbf{a}$ 知 $|2\mathbf{a}|=2⟹|\mathbf{a}|=1$，故 $\mathbf{a}$ 为单位向量，①正确。
• 对于②：由 $\overrightarrow{AC}=2\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 得 $\mathbf{b}=\overrightarrow{AC}-2\mathbf{a}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$。因为 $|\overrightarrow{BC}|=2$，所以 $|\mathbf{b}|=2\ne 1$，故 $\mathbf{b}$ 不是单位向量，②错误。
• 对于③：$\mathbf{a}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\mathbf{b}=\overrightarrow{BC}$。在等边三角形中，$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 夹角为 $120^{\circ }$，数量积不为 $0$，故不垂直，③错误。
• 对于④：由 $\mathbf{b}=\overrightarrow{BC}$ 可知 $\mathbf{b}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 共线且同向，故 $\mathbf{b}\parallel \overrightarrow{BC}$，④正确。
• 对于⑤：$4\mathbf{a}+\mathbf{b}=2(2\mathbf{a})+\mathbf{b}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$。由于 $△ABC$ 是等边三角形，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ 的方向平分 $\angle A$，垂直于底边 $\overrightarrow{BC}$，故 $(4\mathbf{a}+\mathbf{b})\perp \overrightarrow{BC}$ 成立，⑤正确。 综上，正确的结论序号为 ①④⑤。 答案：①④⑤。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量线性运算、模长、数量积与几何图形交汇。
2. 核心方法：向量的三角形法则与几何图形性质结合。
3. 避坑指南：注意向量模长的计算以及向量相等的几何意义。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考平面向量压轴填空题。
2. 结论推广: 等边三角形中经典向量关系式的转化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练(Links)

• 2012-安徽卷理-15
• 2013年安徽卷理-9
• 2014-安徽卷理-10 单-坐标表示