2015-安徽卷理-14 填-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的基本运算。核心在于利用等比数列的性质 $a_{2} a_{3} = a_{1} a_{4}$ 建立方程组，解出首项与公比，最后套用求和公式。题目中“递增”这一条件是筛选解的关键。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)）已知数列 ${a_{n}}$ 是递增的等比数列， $a_{1} + a_{4} = 9$ ， $a_{2} a_{3} = 8$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和等于 .

🔍【思路分析】

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利用等比性质：根据等比数列下标和性质，若 $m + n = p + q$ ，则 $a_{m} a_{n} = a_{p} a_{q}$ 。由此可知 $a_{1} a_{4} = a_{2} a_{3} = 8$ 。

构建方程组：结合已知条件 $a_{1} + a_{4} = 9$ 和推导出的 $a_{1} a_{4} = 8$ ，建立关于 $a_{1}$ 和 $a_{4}$ 的二元二次方程组。

确定基本量：解方程组得到两组可能的 ${a_{1}, a_{4}}$ ，根据“递增”条件确定 $a_{1} < a_{4}$ ，进而求出公比 $q$ 。

求和计算：代入等比数列前 $n$ 项和公式 $S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ 得到结果。

✅【答案】

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$2^{n} - 1$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求首项和第四项 在等比数列中， $a_{2} a_{3} = a_{1} a_{4} = 8$ 。结合已知条件，得到方程组： ${a_{1} + a_{4} = 9 a_{1} a_{4} = 8$ 根据韦达定理逆定理可知， $a_{1}, a_{4}$ 是方程 $x^{2} - 9 x + 8 = 0$ 的两个根。解得 $x_{1} = 1, x_{2} = 8$ 。因为数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，所以 $a_{1} < a_{4}$ ，即： $a_{1} = 1$ ， $a_{4} = 8$ 。

第二步：求公比 $q$ 由等比数列通项公式 $a_{4} = a_{1} q^{3}$ ，得： $1 \cdot q^{3} = 8 ⟹ q = 2$ 。验证： $q = 2 > 1$ 且 $a_{1} > 0$ ，符合递增条件。

第三步：计算前 $n$ 项和 代入公式： $S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q} = \frac{1 ( 1 - 2 ^{n} )}{1 - 2} = \frac{1 - 2 ^{n}}{- 1} = 2^{n} - 1$ 。

故答案为： $2^{n} - 1$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

性质优于定义：直接利用 $a_{1} a_{4} = a_{2} a_{3}$ 比将所有项化为 $a_{1}$ 和 $q$ 的方程（如 $a_{1} q \cdot a_{1} q^{2} = 8$ ）计算量更小，更不易出错。

隐含条件判定：

若 $a_{1} > 0$ ，递增 $⟺ q > 1$ 。

若 $a_{1} < 0$ ，递增 $⟺ 0 < q < 1$ 。本题首项为正，故 $q = 2$ 确认为递增。

避坑指南：解方程组时注意顺序， $a_{1} = 8, a_{4} = 1$ 会导致数列递减，不合题意。

📖【试题探源与推广】

Tip

方法拓展: 如果题目给的是等差数列， $a_{1} + a_{4} = 9, a_{2} + a_{3} = 8$ 这种条件，则利用 $a_{1} + a_{4} = a_{2} + a_{3}$ 可发现已知条件可能存在矛盾或冗余。

变式思考: 若去掉“递增”条件，答案应该是多少？ (提示：答案将会有两个，需同时考虑 $a_{1} = 8, q = 1/2$ 的情况。)

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