2015-新课标II卷理-04 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列通项公式的应用。核心考点在于通过已知项的和建立关于公比 $q$ 的方程，或者利用等比数列项与项之间的比例倍数关系快速求解。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_1+a_3+a_5=21$，则 $a_3+a_5+a_7=$ ()

A. 21　　　　　　　B. 42　　　　　　　C. 63　　　　　　　D. 84

🔍【思路分析】

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1. 基本量法（常规解法）：利用通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，将 $a_3+a_5$ 用 $a_1$ 和 $q$ 表示，求出 $q^2$ 的值，再计算目标式。
2. 比例平移法（高效解法）：观察已知式与目标式的结构。 已知：$a_1+a_3+a_5$ 目标：$a_3+a_5+a_7$ 注意到目标式的每一项分别对应已知式的每一项乘以 $q^2$（例如 $a_3=a_1\cdot q^2$）。 因此，$(a_3+a_5+a_7)=q^2\cdot (a_1+a_3+a_5)$。只需利用已知条件求出 $q^2$ 即可。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $q^2$ 的值 由 $a_1+a_3+a_5=21$，代入通项公式得： $a_1+a_1{q}^2+a_1{q}^4=21$ 提取公因式 $a_1$： $a_1(1+q^2+q^4)=21$ 代入 $a_1=3$： $3(1+q^2+q^4)=21⟹1+q^2+q^4=7$ 整理得关于 $q^2$ 的一元二次方程： $(q^2{)}^2+q^2-6=0$ 解得 $q^2=2$ 或 $q^2=-3$（舍去，因为在实数列中 $q^2\ge 0$）。 所以 $q^2=2$。

第二步：求目标式的值 利用比例关系： $a_3+a_5+a_7=a_1{q}^2+a_3{q}^2+a_5{q}^2$ $a_3+a_5+a_7=q^2(a_1+a_3+a_5)$ 代入已知的 $a_1+a_3+a_5=21$ 和求得的 $q^2=2$： $a_3+a_5+a_7=2\times 21=42$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等比数列通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$。
• 核心方法：整体代换。在处理等比数列的和时，寻找项与项之间的倍数关系 $q^k$ 往往比死算每一项要快得多。
• 避坑指南：在解关于 $q^2$ 的方程时，注意根据实际意义舍弃负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若等比数列中项的下标成等差数列（如 $1,3,5$），则对应的项也成等比数列。本题中 $a_1,a_3,a_5,a_7$ 就是公比为 $q^2$ 的新等比数列。 *方法推广: 遇到 $S_{odd}$ 或 $S_{even}$ 的问题，优先考虑提取公比 $q$。

• 相关知识点：等比数列的前 $n$ 项和公式。

🔗【关联脉络】

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