2015-安徽卷理-16 解-解三角形

本题导读

本题考查解三角形的综合应用。第一阶段利用余弦定理求出大三角形的边长；第二阶段利用正弦定理求出内角正弦值；第三阶段结合等腰三角形的几何特征，在子三角形中利用正弦定理或二倍角公式求解目标线段。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$A=\frac{3\pi }{4}$，$AB=6$，$AC=3\sqrt{2}$，点 $D$ 在 $BC$ 边上，$AD=BD$，求 $AD$ 的长.

🔍【思路分析】

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1. 求 $BC$ 边长：已知 $△ABC$ 的两边及其夹角，优先使用余弦定理求出对边 $a=BC$。
2. 求角 $B$ 的三角函数值：已知三边一角，利用正弦定理求出 $\sin B$，再根据范围求出 $\cos B$。
3. 转化目标条件：由 $AD=BD$ 可知 $△ABD$ 是等腰三角形，则 $\angle DAB=\angle B$。由此推得 $\angle ADB=\pi -2B$。
4. 求解 $AD$：在 $△ABD$ 中，已知 $AB$ 和角度关系，利用正弦定理 $\frac{AD}{\sin B}=\frac{AB}{\sin \angle ADB}$ 建立方程求解。

✅【答案】

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$\sqrt{10}$

✍【详细解析】

Abstract


第一步：求 $BC$ 的长度 在 $△ABC$ 中，设 $BC=a,AC=b,AB=c$。 由余弦定理得： $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ $a^2=(3\sqrt{2}{)}^2+6^2-2\times 3\sqrt{2}\times 6\times \cos \frac{3\pi }{4}$ $a^2=18+36-36\sqrt{2}\times (-\frac{\sqrt{2}}{2})$ $a^2=54+36=90$ 所以 $a=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$。

第二步：求 $\sin B$ 和 $\cos B$ 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得： $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{3\sqrt{2}\times \sin \frac{3\pi }{4}}{3\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。 因为 $A$ 是钝角，所以 $B$ 必为锐角。 $\cos B=\sqrt{1-{\sin }^{2}B}=\sqrt{1-\frac{1}{10}}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

第三步：在 $△ABD$ 中求 $AD$ 因为 $AD=BD$，所以 $△ABD$ 为等腰三角形，故 $\angle DAB=\angle B$。 在 $△ABD$ 中，$\angle ADB=\pi -(\angle DAB+\angle B)=\pi -2B$。 由正弦定理得： $\frac{AD}{\sin B}=\frac{AB}{\sin (\pi -2B)}$ $AD=\frac{AB\cdot \sin B}{\sin 2B}=\frac{6\sin B}{2\sin B\cos B}=\frac{3}{\cos B}$ 代入 $\cos B=\frac{3}{\sqrt{10}}$： $AD=\frac{3}{\frac{3}{\sqrt{10}}}=\sqrt{10}$。

故答案为：$\sqrt{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 定理选择逻辑：已知“边-角-边”求第三边用余弦定理；已知“边-边-角”或需进行边角转换用正弦定理。
2. 计算优化：在第三步中，利用 $\sin 2B=2\sin B\cos B$ 约掉 $\sin B$ 可以极大简化运算，避免带入繁琐的根式。
3. 避坑指南：求 $\cos B$ 时一定要结合三角形内角范围（本题 $A$ 已是钝角）判定符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 在求出 $\cos B$ 后，也可以在 $△ABD$ 中利用射影定理或作底边上的高。作 $DE\perp AB$ 于 $E$，则 $AE=\frac{1}{2}AB=3$。在 $Rt△ADE$ 中，$AD=\frac{AE}{\cos B}=\frac{3}{3/\sqrt{10}}=\sqrt{10}$。这种几何法在处理等腰三角形时往往比正弦定理更直观。
• 变式思考: 若点 $D$ 满足 $AD=CD$，则 $AD$ 的长度会发生什么变化？ (提示：此时 $\angle DAC=\angle C$，需先求出 $\sin C$ 或 $\cos C$。)

🔗【关联脉络】

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• 11.02 余弦定理

类题演练(Links)

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