2015-安徽卷理-21 解-复合函数

本题导读

本题是 2015 年安徽理科卷的最优压轴大题，属于函数、导数与不等式的深度综合。第一问考查含参复合函数的单调性讨论；第二问通过绝对值不等式将函数差的最值问题进行转化；第三问要求在特定约束条件下求目标函数的最值，考查逻辑推理与代数变形的综合能力。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） 设函数 $f(x)=x^2-ax+b$.

(1) 讨论函数 $f(\sin x)$ 在 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

(2) 记 $f_0(x)=x^2-a_{0}x+b_0$，求函数 $|f(\sin x)-f_0(\sin x)|$ 在 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 上的最大值 $D$；

(3) 在(2)中，取 $a_0=b_0=0$，求 $z=b-\frac{a^2}{4}$ 满足 $D\le 1$ 时的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（单调性与极值）：
   • 令 $g(x)=f(\sin x)={\sin }^{2}x-a\sin x+b$。
   • 求导：$g^{\prime }(x)=(2\sin x-a)\cos x$。在 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 内 $\cos x>0$，导数符号由 $2\sin x-a$ 决定。
   • 按 $a$ 的范围分类讨论：$a\le -2$，$a\ge 2$，以及 $-2<a<2$ 三种情况。
2. 第二问（差的最大值）：
   • $f(\sin x)-f_0(\sin x)=(a_0-a)\sin x+b-b_0$。
   • 这是一次型复合函数（关于 $\sin x$），其在闭区间上的最大值必在端点或特定位置取得。利用绝对值不等式 $|x+y|\le |x|+|y|$ 进行放缩锁定。
3. 第三问（含约束的最值）：
   • 将 $a_0=b_0=0$ 代入 $D$ 的表达式，由 $D\le 1$ 得到关于 $a,b$ 的约束：$|a|+|b|\le 1$。
   • 目标函数 $z=b-\frac{a^2}{4}$。利用约束条件进行变量代换或消元，转化为关于单变量的二次函数最值问题。

✅【答案】

点击查看答案

综上所述，$z$ 的最大值为 1

✍【详细解析】

Abstract

(1) 讨论 $f(\sin x)$ 的性质 令 $g(x)=f(\sin x)={\sin }^{2}x-a\sin x+b,x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$。 求导得 $g^{\prime }(x)=2\sin x\cos x-a\cos x=(2\sin x-a)\cos x$。 因为 $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$，所以 $\cos x>0$，且 $-2<2\sin x<2$。

① 当 $a\le -2$ 时，$2\sin x-a>0$，则 $g^{\prime }(x)>0$。函数在区间内单调递增，无极值。 ② 当 $a\ge 2$ 时，$2\sin x-a<0$，则 $g^{\prime }(x)<0$。函数在区间内单调递减，无极值。 ③ 当 $-2<a<2$ 时，令 $g^{\prime }(x)=0$ 得 $\sin x=\frac{a}{2}$。记此点为 $x_0=\arcsin \frac{a}{2}$。

• 当 $x\in (-\frac{\pi }{2},x_0)$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，函数递减；
• 当 $x\in (x_0,\frac{\pi }{2})$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，函数递增。 此时，函数在 $x_0$ 处取得极小值： $f(\sin x_0)=(\frac{a}{2}{)}^2-a(\frac{a}{2})+b=\mathbf{b}-\frac{{\mathbf{a}}^2}{4}$。

---

(2) 求最大值 $D$ $|f(\sin x)-f_0(\sin x)|=|({\sin }^{2}x-a\sin x+b)-({\sin }^{2}x-a_0\sin x+b_0)|=|(a_0-a)\sin x+(b-b_0)|$。 令 $u=\sin x\in [-1,1]$，设 $h(u)=(a_0-a)u+(b-b_0)$。 因为 $h(u)$ 是关于 $u$ 的一次函数，其在 $[-1,1]$ 上的最大值 $D$ 必在端点 $u=\pm 1$ 处取得。 $D=\max \{|h(1)|,|h(-1)|\}=\max \{|(a_0-a)+(b-b_0)|,|-(a_0-a)+(b-b_0)|\}$。 由公式 $\max \{|A+B|,|A-B|\}=|A|+|B|$ 得： $D=|a-a_0|+|b-b_0|$。

---

(3) 求 $z=b-\frac{a^2}{4}$ 的最大值 当 $a_0=b_0=0$ 时，$D=|a|+|b|\le 1$。 我们需要求 $z=b-\frac{a^2}{4}$ 在条件 $|a|+|b|\le 1$ 下的最大值。 由于 $z$ 关于 $a$ 是偶函数，不妨设 $a\ge 0,b\in [-1,1]$，则约束为 $a+|b|\le 1$。 由 $a\le 1-|b|$，得 $a^2\le (1-|b|{)}^2$。 则 $z=b-\frac{a^2}{4}\le b-\frac{(1-|b|{)}^2}{4}$。

• 当 $0\le b\le 1$ 时： $z\le b-\frac{(1-b{)}^2}{4}=\frac{4b-(1-2b+b^2)}{4}=\frac{-b^2+6b-1}{4}$。 此二次函数开口向下，对称轴 $b=3$，在 $[0,1]$ 上单调递增。 当 $b=1$ 时（此时 $a=0$），$z_{max}=\frac{-1+6-1}{4}=1$。
• 当 $-1\le b<0$ 时： $z\le b-\frac{(1+b{)}^2}{4}=\frac{4b-(1+2b+b^2)}{4}=\frac{-b^2+2b-1}{4}=-\frac{(b-1{)}^2}{4}$。 此时 $z<0$，易知不是最大值。

综上所述，$z$ 的最大值为 1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 复合单调性规律：$f(g(x))$ 的单调性遵循“同增异减”原则，但通过导数分析（特别是提取 $\cos x$）更具普适性。
2. 绝对值的几何特征：$\max \{|x+y|,|x-y|\}=|x|+|y|$ 是处理此类问题的极佳工具，避免了繁琐的分段讨论。
3. 避坑指南：第三问中，很多同学会忽略 $b$ 为负数的情况，虽然本题中 $b$ 取负数明显不优，但在严谨的解答题中必须有完整的讨论过程。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 第三问也可以利用数形结合。约束区域 $|a|+|b|\le 1$ 是一个以 $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$ 为顶点的正方形区域。目标函数 $b=\frac{1}{4}{a}^2+z$ 代表一族向上开口的抛物线，求 $z$ 最大即求抛物线截距最高点。
• 变式思考: 若要求 $D\le 1$ 时 $a+b$ 的最大值，该如何处理？ (提示：在约束区域内寻找线性规划的最优解。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练(Links)

• 2014-安徽卷理-21 解-伯努利不等式
• 2014-安徽卷理-05 单-线性规划
• 2013年安徽卷理-10