2015-山东卷文-07 单-几何概型

本题导读

几何概型 $P=\frac{\text{构成事件的区间长度}}{\text{总区间长度}}$。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(文)） 在区间 $[0,2]$ 上随机地取一个数 $x$，则事件"$-1⩽{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right)⩽1$"发生的概率为 ()

A. $\frac{3}{4}$　　　　　　　B. $\frac{2}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　　　　D. $\frac{1}{4}$

🔍【思路分析】

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几何概型 $P=\frac{\text{构成事件的区间长度}}{\text{总区间长度}}$。核心是把对数不等式解出来，看看 $x$ 落在哪一段。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $-1⩽{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right)⩽1$，底 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，去对数时不等号反向：

${\left(\frac{1}{2}\right)}^1⩽x+\frac{1}{2}⩽{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}$，即 $\frac{1}{2}⩽x+\frac{1}{2}⩽2$，解得 $0⩽x⩽\frac{3}{2}$。

由几何概型，$P=\frac{\frac{3}{2}-0}{2-0}=\frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何概型；对数不等式

核心方法：利用 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 的减性去对数，再算长度比

避坑指南：底数 $\frac{1}{2}<1$，去对数必须变号——这是本题唯一的”坑”；此外要检查解出的区间 $[0,\frac{3}{2}]$ 确实落在总区间 $[0,2]$ 内。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何概型常与不等式（对数、指数、分式）结合，本质是”解不等式定测度”。

结论推广：若总区间改成 $[0,1]$，则事件区间 $[0,\frac{3}{2}]\cap [0,1]=[0,1]$，$P=1$（必然事件）——交集思想的推广。

方法推广：“测度比”三步：定总测度、解不等式定有利测度、作比。对面积型、体积型几何概型同样适用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 04.01 指数与对数运算

类题演练(Links)

• 2015-山东卷理-07 单-几何体体积
• 2013年山东卷理-14
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