2015-山东卷理-07 单-几何体体积

本题导读

考查由平面图形旋转一周形成的旋转体体积，需要准确分析几何体的组成结构。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(理)） 在梯形 $ABCD$ 中，$\angle ABC=\frac{\pi }{2}$，$AD\parallel BC$，$BC=2AD=2AB=2$.将梯形 $ABCD$ 绕 $AD$ 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ()

A. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　B. $\frac{4\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{5\pi }{3}$　　　　　　　D. $2\pi$

🔍【思路分析】

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1. 确定梯形各点坐标，以 $AD$ 所在的直线为 $x$ 轴建立坐标系。
2. 将几何体拆分为圆柱与圆锥的组合体，或者通过定积分直接计算旋转体的体积。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由题意 $AD=1$, $AB=1$, $BC=2$，且 $\angle ABC=\frac{\pi }{2}$、$AD\parallel BC$。 以 $AD$ 所在直线为旋转轴。该直角梯形绕轴旋转所得的几何体，可看作一个底面半径 $r=AB=1$、高 $h=BC=2$ 的圆柱，挖去一个同底（半径 1）、高 $h^{\prime }=BC-AD=2-1=1$ 的圆锥。 圆柱体积： $V_{\text{柱}}=\pi r^{2}h=\pi \times 1^2\times 2=2\pi$ 圆锥体积： $V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}\pi r^2{h}^{\prime }=\frac{1}{3}\pi \times 1^2\times 1=\frac{\pi }{3}$ 故所求几何体体积： $V=V_{\text{柱}}-V_{\text{锥}}=2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：旋转体体积、空间几何体三视图与结构。
2. 核心方法：组合体体积相加法。
3. 避坑指南：准确理解旋转轴以及旋转后各部分边界构成的几何形体。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考空间几何体体积的经典考题。
2. 结论推广: 复杂旋转体体积通常可分割为简单旋转体（圆柱、圆锥、圆台）求和或求差。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练(Links)

• 2015-山东卷文-13 填-圆的切线
• 2015-山东卷理-13 填-程序框图
• 2013年山东卷理-4