2015-山东卷文-12 填-线性规划

本题导读

线性目标函数的最值在可行域顶点处取得。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(文)） 若 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}y-x⩽1,\\ x+y⩽3,\\ y⩾1,\end{array}$ 则 $z=x+3y$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

线性目标函数的最值在可行域顶点处取得。画出三条直线围成的三角形，求出三个顶点，逐一代入 $z=x+3y$。

✅【答案】

点击查看答案

$7$

✍【详细解析】

Abstract

三条边界直线：$y=x+1$，$x+y=3$，$y=1$，围成的可行域是以

$(0,1)$（$y=x+1$ 与 $y=1$ 交点）、$(2,1)$（$x+y=3$ 与 $y=1$ 交点）、$(1,2)$（$y=x+1$ 与 $x+y=3$ 交点）为顶点的三角形。

代入 $z=x+3y$：

$(0,1)$：$z=3$；$(2,1)$：$z=5$；$(1,2)$：$z=1+6=7$。

故 $z$ 的最大值为 $7$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的图解法

核心方法：画可行域、求顶点、比较目标函数值

避坑指南：（1）可行域是三个不等式的”公共部分”，画图时逐条检验取哪一侧；（2）目标函数最值一定在顶点取得，但前提是可行域有界（本题是三角形）；（3）别只代两个顶点漏算第三个。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划是山东卷填空的常客，本题约束条件简单，重点在”顶点法”的熟练度。

结论推广：若目标函数改为 $z=x+3y+t$（$t$ 为参数），最优解顶点会随 $t$ 变化而切换——这就是”含参线性规划”的讨论入口。

方法推广：顶点法之外还可用”平移直线法”：作 $x+3y=0$ 沿法向量 $(1,3)$ 方向平移，最后离开可行域的位置即最大值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2009-山东卷理-12
• 2014-山东卷理-09 单-简单的线性规划问题
• 2016-山东卷理-04