2014-山东卷理-09 单-简单的线性规划问题

本题导读

本题是线性规划与解析几何的综合考查。通过约束条件确定可行域及最优解点，再将目标函数的最小值转化为关于参数 $a,b$ 的直线方程，最后利用 $a^2+b^2$ 的几何意义（原点到直线距离的平方）求解。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 已知 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y-1\le 0\\ 2x-y-3\ge 0\end{array}$，当目标函数 $z=ax+by$ ($a>0,b>0$) 在该约束条件下取得最小值 $2\sqrt{5}$ 时，$a^2+b^2$ 的最小值为()

A. $5$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $\sqrt{5}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定最优解点：
   • 绘制约束条件确定的可行域。本题约束条件较少，可行域为一个开口区域（角形区域）。
   • 由于 $a,b>0$，目标函数 $z=ax+by$ 的等值线斜率为负。当直线向左下方平移时，$z$ 减小。
   • 最小值必然在两条边界直线的交点处取得。
2. 建立参数方程：
   • 联立直线方程求出交点坐标 $(x_0,y_0)$。
   • 代入目标函数，得到关于 $a,b$ 的等式：$a{x}_0+b{y}_0=2\sqrt{5}$。
3. 转化求最值：
   • $a^2+b^2$ 的几何意义是原点 $(0,0)$ 到点 $(a,b)$ 距离的平方。
   • 由于点 $(a,b)$ 在直线 $x_{0}a+y_{0}b=2\sqrt{5}$ 上，因此 $a^2+b^2$ 的最小值即为原点到该直线距离的平方。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求可行域的顶点 联立两条边界直线方程：

$$\{\begin{array}{l}x-y-1=0\\ 2x-y-3=0\end{array}$$

两式相减得：$x-2=0⟹x=2$。 代入第一式得：$2-y-1=0⟹y=1$。 所以顶点（最优解点）为 $M(2,1)$。

第二步：代入目标函数 因为 $a>0,b>0$，目标函数 $z=ax+by$ 在可行域顶点 $M(2,1)$ 处取得最小值。 根据题意：$2a+b=2\sqrt{5}$。

第三步：利用几何意义求 $a^2+b^2$ 的最小值 $a^2+b^2$ 可以看作原点 $O(0,0)$ 到直线 $2a+b-2\sqrt{5}=0$ 上的点 $(a,b)$ 距离的平方。 原点到该直线的距离 $d$ 为： $d=\frac{|2\times 0+1\times 0-2\sqrt{5}|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2$

所以 $a^2+b^2$ 的最小值为 $d^2=2^2=4$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划的最优解判定、点到直线的距离公式。

2. 核心方法：双重几何意义转化。第一次转化是将 $z$ 的最值点锁定在交点；第二次转化是将代数式 $a^2+b^2$ 识别为“距离的平方”。

3. 避坑指南：部分同学可能会尝试使用基本不等式或柯西不等式求解 $a^2+b^2$，虽然可行，但在处理 $a,b>0$ 的边界条件和根号运算时较为繁琐，不如利用距离公式直观。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 柯西不等式 $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by{)}^2$（本题若用柯西不等式：$(a^2+b^2)(2^2+1^2)\ge (2a+b{)}^2=20⟹a^2+b^2\ge 4$）。

2. 结论推广: 若已知 $Ax+By=C$，则 $x^2+y^2$ 的最小值为 $\frac{C^2}{A^2+B^2}$。

3. 方法推广: 面对 $f(a,b)$ 型的最值问题，若约束条件是线性的，优先考虑解析几何中的距离、斜率或截距意义。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.03 专题-恒成立问题
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-13 填-简单的线性规划问题
• 2015-陕西卷文-11 单-线性规划
• 2015-福建卷文-10 单-线性规划