2015-山东卷理-11 填-排列组合

本题导读

考查组合数的性质及归纳推理能力，通过观察前几个式子的规律推导出一般结论。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(理)） 观察下列各式： $C_1^0=4^0$; $C_3^0+C_3^1=4^1$; $C_5^0+C_5^1+C_5^2=4^2$; $C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3=4^3$; …… 照此规律，当 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 时，$C_{2n-1}^0+C_{2n-1}^1+C_{2n-1}^2+\cdots +C_{2n-1}^{n-1}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析等式左边的组合数下标与上标的变化规律：第 $k$ 个式子中，下标为 $2k-1$，上标从 $0$ 一直到 $k-1$（即总项数为下沉指标的一半）。
2. 分析右边的幂函数规律：随着指标增大，底数保持 $4$ 不变，指数分别为 $0,1,2,3$，对应 $k-1$。
3. 将所求式子与已知归纳式进行对应，推断其右边的结果。

✅【答案】

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$4^{n-1}$

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，第 $1$ 个式子（$k=1$）：$C_1^0=4^0$； 第 $2$ 个式子（$k=2$）：$C_3^0+C_3^1=4^1$； 第 $3$ 个式子（$k=3$）：$C_5^0+C_5^1+C_5^2=4^2$； …… 一般地，当式子下角标为 $2n-1$ 时，上标从 $0$ 到 $n-1$，即总共有 $n$ 项，对应第 $n$ 个式子。 其右侧应为 $4^{n-1}$。 故答案为：$4^{n-1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数求和、归纳推理。
2. 核心方法：观察法、类比法。
3. 避坑指南：注意项数与指数之间的对应关系，切勿将指数错写成 $n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考填空题中常见的推理与证明题。
2. 结论推广: 结合二项式定理部分求和公式可以证明该结论。

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