2015-山东卷理-12 填-三角函数单调性

本题导读

考查正切函数在给定闭区间上的最大值及恒成立问题的参数求解。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(理)） 若“$\forall x\in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$，$\tan x⩽m$”是真命题，则实数 $m$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. “$\forall x\in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$，$\tan x⩽m$”恒成立，等价于 $m$ 大于或等于函数 $f(x)=\tan x$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 上的最大值。
2. 求出 $\tan x$ 在该区间上的最大值即可得到 $m$ 的取值范围。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $y=\tan x$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 上单调递增， 所以当 $x=\frac{\pi }{4}$ 时，$\tan x$ 取得最大值 $\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=1$。 要使不等式在整个区间上恒成立，只需 $m\ge (\tan x{)}_{\max }=1$。 因此，实数 $m$ 的最小值为 $1$。 故答案为：$1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数值域、恒成立问题。
2. 核心方法：求函数最值法。
3. 避坑指南：注意区间的端点值开闭及正切函数的单调性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 常规三角函数性质与不等式恒成立交汇题。
2. 结论推广: $\forall x\in D,f(x)⩽m⟺m\ge f(x{)}_{\max }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

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• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练(Links)

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