2015-山东卷文-13 填-圆的切线

本题导读

$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 需要模与夹角。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(文)） 过点 $P\left(1,\sqrt{3}\right)$ 作圆 $x^2+y^2=1$ 的两条切线，切点分别为 $A$，$B$，则 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 需要模与夹角。切线长 $|PA|$ 用勾股定理，夹角 $\angle APB$ 由 $△OPA$ 中的特殊角求出。

✅【答案】

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$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$|OP|=\sqrt{1+3}=2$，圆半径 $r=1$。

在 $\mathrm{Rt}△OPA$ 中，$\sin \angle OPA=\frac{r}{|OP|}=\frac{1}{2}$，故 $\angle OPA=30^{\circ }$，$\angle APB=60^{\circ }$。

切线长 $|PA|=\sqrt{|OP{|}^2-r^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，同理 $|PB|=\sqrt{3}$。

所以 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=|PA||PB|\cos 60^{\circ }=\sqrt{3}\times \sqrt{3}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切线性质；平面向量的数量积

核心方法：几何法求模与夹角，再用数量积定义

避坑指南：（1）夹角是 $\angle APB=60^{\circ }$，不是 $\angle OPA=30^{\circ }$；（2）数量积用”共起点”的 $\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB}$，别把方向弄反导致符号错；（3）$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 也可用 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ 与减法展开，两法互相验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“圆的切线 + 向量数量积”是解析几何与向量的小综合，山东卷爱考这种”几何性质省运算”的题。

结论推广：一般化：设 $|OP|=d$，则 $|PA{|}^2=d^2-r^2$，$\cos \angle APB=1-\frac{2r^2}{d^2}$，于是 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(d^2-r^2)\left(1-\frac{2r^2}{d^2}\right)$。本题 $d=2$，$r=1$：$3\times \left(1-\frac{2}{4}\right)=\frac{3}{2}$，与之吻合。

方法推广：“切线四件套”：切线长 $\sqrt{|OP{|}^2-r^2}$、$\sin \angle OPA=\frac{r}{|OP|}$、切点弦长、四边形 $OAPB$ 面积 $r\sqrt{|OP{|}^2-r^2}$——背熟后此类小题一分钟内解决。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.06 圆的切线与极点极线
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2016-山东卷理-14
• 2015-山东卷理-12 填-三角函数单调性
• 2016-山东卷理-10