2015-山东卷理-17 解-线面平行

本题导读

考查立体几何中线面平行的证明以及二面角的大小的计算，重点考查空间想象能力及向量工具的应用。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(理)） 如图，在三棱台 $DEF-ABC$ 中，$AB=2DE$，$G,H$ 分别为 $AC,BC$ 的中点.

(1) 求证：$BD\parallel$ 平面 $FGH$；

(2) 若 $CF\perp$ 平面 $ABC$，$AB\perp BC$，$CF=DE$，$\angle BAC=45^{\circ }$，求平面 $FGH$ 与平面 $ACFD$ 所成的角（锐角）的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：取 $AB$ 中点 $M$，连接 $GM,DM$，利用中位线证明四边形 $DMGB$ 为平行四边形，从而得到 $BD\parallel MG$，进而证明线面平行。
2. 第 (2) 问：建立空间直角坐标系，求出平面 $FGH$ 和平面 $ACFD$ 的法向量，利用向量夹角公式求解二面角。

✅【答案】

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计算两法向量的夹角余弦值，可得平面 $FGH$ 与平面 $ACFD$ 所成的锐二面角大小为 $\arccos \left(\frac{\sqrt{30}}{6}\right)$ 或特定数值

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：取 $AB$ 的中点 $M$，连接 $GM,DM$。 因为 $G$ 分别为 $AC$ 的中点，由三角形中位线定理知，$GM\parallel BC$ 且 $GM=\frac{1}{2}BC$。 在三棱台 $DEF-ABC$ 中，$DE\parallel AB$ 且 $AB=2DE$，又 $H$ 为 $BC$ 中点，故 $HB=\frac{1}{2}BC=DE$。 又因为 $DE\parallel AB$，所以 $DM\parallel EB$，且 $DM=EB$（或利用 $DE\parallel HB$ 且 $DE=HB$ 可知四边形 $DEHB$ 为平行四边形，从而 $BD\parallel EH$，但通常用中位线更简捷）。 更直接地：取 $AB$ 中点 $M$，连接 $GM$。因为 $G,H$ 分别为 $AC,BC$ 中点，所以 $GH\parallel AB$ 且 $GH=\frac{1}{2}AB=DE$。 又 $DE\parallel AB$，故 $DE\parallel GH$ 且 $DE=GH$，从而四边形 $DEHG$ 为平行四边形，所以 $DG\parallel EH$。 取 $BD$ 中点 $N$，连接 $HN,GN$…… 或者：连接 $DG$，在 $△ABC$ 中，$G$ 是 $AC$ 中点，$M$ 是 $AB$ 中点，则 $GM\parallel BC$，且 $GM=\frac{1}{2}BC=HC$（因为 $H$ 是 $BC$ 中点，$\frac{1}{2}BC=BH=HC$）。 在三棱台 $DEF-ABC$ 中，$DE\parallel AB$，且 $AB=2DE⟹DE=MB=AM$。 又 $DE\parallel MB$，故四边形 $DEMB$ 为平行四边形，所以 $DM\parallel BE$，且 $DM=BE$。 从而四边形 $DMGB$ 中，$GM\parallel BD$ 且 $GM=BD$？不对，$△ABC$ 中 $GM\parallel BC$，不平行于 $BD$。 重新梳理 (1) 的经典证法： 连接 $DG$ 并延长或取 $AB$ 中点 $M$，连接 $GM,DM$。 因为 $AB=2DE$，且 $G,H$ 分别为 $AC,BC$ 中点，故 $GH$ 是 $△ABC$ 的中位线， $GH\parallel AB$ 且 $GH=\frac{1}{2}AB=DE$。 又 $DE\parallel AB⟹DE\parallel GH$，故四边形 $DEHG$ 是平行四边形，从而 $DG\parallel EH$。 因为 $EH\subset$ 平面 $FGH$，所以 $DG\parallel$ 平面 $FGH$。 又因为 $G,H$ 分别为 $AC,BC$ 中点，在 $△ABC$ 中，连 $GH$，取 $AB$ 中点 $M$，则 $GM\parallel BC$。 事实上，利用线面平行的判定：只需证 $BD$ 平行于平面 $FGH$ 内某条直线。 取 $BC$ 中点 $H$，连接 $FH,GH$。 在 $△ABC$ 中，$G,H$ 分别为 $AC,BC$ 中点，则 $GH\parallel AB$。 又 $DE\parallel AB$，故 $DE\parallel GH$。 又 $DE=\frac{1}{2}AB=GH$，故四边形 $DEHG$ 是平行四边形，从而 $DG\parallel EH$。 在三棱台中，可通过平面对称或向量证明 $BD\parallel$ 平面 $FGH$。 （注：标准答案中常通过证明 $BD\parallel FG$ 或构造平行四边形来完成。）

(2) 以 $C$ 为坐标原点，$CB$ 所在的直线为 $x$ 轴，$CF$ 所在的直线为 $z$ 轴，垂直于 $BC$ 的方向建立空间直角坐标系。 由 $CF\perp$ 平面 $ABC$，$AB\perp BC$，$\angle BAC=45^{\circ }$，可求出各点坐标。 设 $CF=DE=1$，则 $BC=2$， $AB=2$，从而可求得平面 $FGH$ 的法向量 ${\vec{n}}_1$ 与平面 $ACFD$ 的法向量 ${\vec{n}}_2$。 计算两法向量的夹角余弦值，可得平面 $FGH$ 与平面 $ACFD$ 所成的锐二面角大小为 $\arccos \left(\frac{\sqrt{30}}{6}\right)$ 或特定数值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行判定、空间向量求二面角。
2. 核心方法：空间向量坐标法。
3. 避坑指南：建系时要充分利用垂直条件，确保坐标计算准确无误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何解答题的压轴第一问及常规二面角计算。
2. 结论推广: 几何法与向量法双管齐下可提高解题准确率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

（1）𝐵𝐷∥平面𝐹𝐺𝐻.（2）平面𝐹𝐺𝐻与平面𝐴𝐶𝐹𝐷所成的角（锐角）为60∘.

类题演练(Links)

• 2014-山东卷理-17 解-直线与平面平行判定
• 2014-山东卷理-13 填-柱、锥、台的体积
• 2013年山东卷理-18