2014-山东卷理-13 填-柱、锥、台的体积

本题导读

本题考查三棱锥体积的计算及比例关系的转化。核心意图是利用中点性质，通过转化顶点和底面，将复杂的空间体积比转化为简单的面积比与高之比。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 三棱锥 $P-ABC$ 中，$D,E$ 分别为 $PB,PC$ 的中点，记三棱锥 $D-ABE$ 的体积为 $V_1$，$P-ABC$ 的体积为 $V_2$，则 $\frac{V_1}{V_2}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一参考底面：直接比较 $V_1$ 和 $V_2$ 较难，利用等积变换（顶点可换）。
   • 将 $V_1$（三棱锥 $D-ABE$）视为以 $△ABD$ 为底面，点 $E$ 为顶点的三棱锥 $E-ABD$。
   • 将 $V_2$（三棱锥 $P-ABC$）视为以 $△ABP$ 为底面，点 $C$ 为顶点的三棱锥 $C-ABP$。
2. 比较底面积：
   • 因为 $D$ 是 $PB$ 的中点，且 $△ABD$ 与 $△ABP$ 共用顶点 $A$，它们的底边在同一直线上。
   • 利用三角形面积公式可知 $S_{△ABD}=\frac{1}{2}{S}_{△ABP}$。
3. 比较高：
   • 设点 $E$ 到平面 $ABP$ 的距离为 $h_1$，点 $C$ 到平面 $ABP$ 的距离为 $h_2$。
   • 因为 $E$ 是 $PC$ 的中点，根据空间平行截面或相似比例性质，$h_1=\frac{1}{2}{h}_2$。
4. 计算体积比：代入锥体体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh$ 进行对比。

✅【答案】

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填：$\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用等积变换转化描述 三棱锥 $D-ABE$ 的体积 $V_1=V_{E-ABD}$。 三棱锥 $P-ABC$ 的体积 $V_2=V_{C-ABP}$。

第二步：求底面积之比 在 $△ABP$ 中，$D$ 是 $PB$ 的中点， 所以 $S_{△ABD}=\frac{1}{2}{S}_{△ABP}$。

第三步：求对应高之比 分别过点 $E$ 和点 $C$ 向平面 $ABP$ 作垂线，垂足分别为 $H_1,H_2$。 则 $E{H}_1=h_1,C{H}_2=h_2$。 因为 $E$ 是 $PC$ 的中点，且 $E{H}_1//C{H}_2$。 根据相似三角形性质（或比例性质）： $\frac{h_1}{h_2}=\frac{PE}{PC}=\frac{1}{2}$

第四步：计算体积比 $\frac{V_1}{V_2}=\frac{V_{E-ABD}}{V_{C-ABP}}=\frac{\frac{1}{3}\cdot S_{△ABD}\cdot h_1}{\frac{1}{3}\cdot S_{△ABP}\cdot h_2}$ $=\frac{S_{△ABD}}{S_{△ABP}}\cdot \frac{h_1}{h_2}$ $=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

故填：$\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三棱锥体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh$。

2. 核心方法：等积变形与比例法。在立体几何中，当直接求体积困难时，变换“底面”和“顶点”是常用技巧。

3. 避坑指南：注意 $V_1$ 的底面选择。若选 $△ABE$ 为底，高很难直接与原锥体关联；选 $△ABD$ 则能共用侧面所在的平面，简化计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 棱柱的体积、相似几何体的体积比等于相似比的立方。

2. 结论推广: 若三棱锥 $P-ABC$ 的侧棱 $PA,PB,PC$ 上分别有点 $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$，则 $\frac{V_{P-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{V_{P-ABC}}=\frac{P{A}^{\prime }}{PA}\cdot \frac{P{B}^{\prime }}{PB}\cdot \frac{P{C}^{\prime }}{PC}$。

3. 方法推广: 割补法、等体积法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2023-新高考I卷-14 填-体积
• 2023-新高考II卷-14 填-体积
• 2013-江苏卷-08 填-柱体与锥体的体积计算