2015-山东卷理-19 解-排列组合

本题导读

考查新定义概念（三位递增数）的理解与计数、古典概型概率计算，以及离散型随机变量的分布列与数学期望，综合性较强。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(理)） 若 $n$ 是一个三位正整数，且 $n$ 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 $n$ 为“三位递增数”（如 $137,359,567$ 等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 $1$ 个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取 的“三位递增数”的三个数字之积不能被 $5$ 整除，参加者得 $0$ 分；若能被 $5$ 整除，但不能被 $10$ 整除，得 $-1$ 分；若能被 $10$ 整除，得 $1$ 分.

(1) 写出所有个位数字是 $5$ 的“三位递增数”；

(2) 若甲参加活动，求甲得分 $X$ 的分布列和数学期望 $E[X]$.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：根据“三位递增数”的定义（百位 < 十位 < 个位），当个位数字为 $5$ 时，确定百位和十位的可能取值，列出所有满足条件的数。
2. 第 (2) 问：先求出所有“三位递增数的总数”（从 $1\sim 9$ 中任取 $3$ 个不同的数字，由于大小顺序唯一确定，总数即组合数 $C_9^3$）。接着分析数字之积被 $5$ 和 $10$ 整除的条件，计算出各得分值（$0,-1,1$）对应的概率，列出分布列并求期望。

✅【答案】

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数学期望为： $E[X]=(-1)\times \frac{1}{14}+0\times \frac{2}{3}+1\times \frac{11}{42}=-\frac{3}{42}+\frac{11}{42}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $n$ 是“三位递增数”，且个位数字是 $5$， 设 $n=\overline{abc}$，则 $a<b<c=5$，且 $a,b\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$（$a\ge 1$）。 因为 $a<b<5$，所以 $a,b$ 可以从集合 $\{1,2,3,4\}$ 中任取两个不同的数字。 可能的情况有： 当 $b=4$ 时，$a$ 可以是 $1,2,3$，对应的数有：$145,245,345$； 当 $b=3$ 时，$a$ 可以是 $1,2$，对应的数有：$135,235$； 当 $b=2$ 时，$a$ 可以是 $1$，对应的数有：$125$。 综上，所有个位数字是 $5$ 的“三位递增数”为：$125,135,235,145,245,345$。

(2) “三位递增数”的总个数为从 $1\sim 9$ 中任取 $3$ 个不同数字的组合数，即 $N=C_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84$ 个。 记三个数字为 $a,b,c$（$a<b<c$）。数字之积能被 $5$ 整除，说明 $a,b,c$ 中至少有一个是 $5$。 数字之积能被 $10$ 整除，说明乘积既能被 $5$ 整除又能被 $2$ 整除，即三个数字中至少有一个是 $5$，且至少有一个是偶数（$2,4,6,8$）。 随机变量 $X$ 的可能取值为 $0,-1,1$。 ① $X=0$ 表示乘积不能被 $5$ 整除，即 $5$ 不在三个数字之中。 此时 $a,b,c$ 从集合 $\{1,2,3,4,6,7,8,9\}$（共 $8$ 个数字）中任取 $3$ 个，个数为 $C_8^3=56$。 故 $P(X=0)=\frac{56}{84}=\frac{2}{3}$。

② $X=-1$ 表示乘积能被 $5$ 整除但不能被 $10$ 整除。 这说明数字中含有 $5$，但没有偶数。因此 $a,b,c$ 中的另外两个数字只能从奇数集 $\{1,3,7,9\}$ 中选取。 子情况讨论：

• 若 $5$ 是个位（即 $c=5$），另外两个数从 $\{1,3\}$ 中选（因为必须比 $5$ 小且递增），如第 (1) 问所求共 $6$ 个数：$125,135,235,145,245,345$ 中含有偶数的去掉，剩 $135$（含偶数的有 $125,145,245,345$ 共 $4$ 个，不含偶数的有 $135$ 共 $1$ 个？等等，详细列举含 $5$ 且无偶数的）： 若 $5$ 是个位：$a,b\in \{1,3\}$ 时只有 $135$（无偶数）；若 $a,b\in \{1,2,3,4\}$ 有偶数。 全面利用组合：含 $5$ 且不含偶数的组合数：$5$ 已经确定，其余两个数从奇数 $\{1,3,7,9\}$ 中小于 $5$ 的数（即 $\{1,3\}$）中选 $2$ 个，共 $C_2^2=1$ 种（即 $135$）；若 $5$ 是十位（$b=5$），则 $a$ 从 $\{1,3\}$ 中选，$c$ 从 $\{7,9\}$ 中选，有 $2\times 2=4$ 种（且均无偶数）；若 $5$ 是百位（$a=5$），则无解（因为后面需要更大且递增，无偶数限制也无所谓，但 $5$ 是百位则 $b,c>5$ 且为奇数，即从 $\{7,9\}$ 中选 $2$ 个，有 $C_2^2=1$ 种：$579$）。 不含偶数的总个数为 $1+4+1=6$ 个。 因此 $P(X=-1)=\frac{6}{84}=\frac{1}{14}$。

③ $X=1$ 表示乘积能被 $10$ 整除（即含 $5$ 且含至少一个偶数）。 总的含 $5$ 的“三位递增数”个数为 $84-56=28$ 个。 其中不能被 $10$ 整除的有 $6$ 个，故能被 $10$ 整除的有 $28-6=22$ 个。 故 $P(X=1)=\frac{22}{84}=\frac{11}{42}$。

综上，随机变量 $X$ 的分布列为：

$X$	$-1$	$0$	$1$
$P$	$\frac{1}{14}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{11}{42}$

数学期望为： $E[X]=(-1)\times \frac{1}{14}+0\times \frac{2}{3}+1\times \frac{11}{42}=-\frac{3}{42}+\frac{11}{42}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望。
2. 核心方法：分类计数法与对立事件转化法。
3. 避坑指南：计算含 $5$ 且含偶数的组合时，用总含 $5$ 的个数减去不含偶数的个数更为简便，可防止遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考概率与统计解答题中的经典计数与概率模型。
2. 结论推广: 新定义计数问题通常转化为标准组合模型（如从 $n$ 个数中选 $m$ 个）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练(Links)

• 2013年山东卷理-19
• 2012年山东卷理-19
• 2016-山东卷理-19