2015-山东卷文-19 解-数列求和

本题导读

(1) 由 $S_n=\frac{n}{2n+1}$ 作差得 $a_{n+1}{a}_{n+2}$，再对 $a_n{a}_{n+1}$ 作差求公差。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 是首项为正数的等差数列，数列 $\left\{\frac{1}{a_n\cdot a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{n}{2n+1}$．

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 设 $b_n=(a_n+1)\cdot 2^{a_n}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$．

🔍【思路分析】

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(1) 由 $S_n=\frac{n}{2n+1}$ 作差得 $a_{n+1}{a}_{n+2}$，再对 $a_n{a}_{n+1}$ 作差求公差。（Ⅱ）$b_n$ 化简为 $n\cdot 4^n$，标准错位相减。

✅【答案】

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(1) $a_n=2n-1$

(2) $T_n=\frac{4+(3n-1)\cdot 4^{n+1}}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ） 设 $S_n=\frac{n}{2n+1}$，则 $a_{n+1}{a}_{n+2}=\frac{1}{S_{n+1}-S_n}$。

由 $S_{n+1}-S_n=\frac{n+1}{2n+3}-\frac{n}{2n+1}=\frac{(n+1)(2n+1)-n(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)}=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$，

得 $a_{n+1}{a}_{n+2}=(2n+1)(2n+3)$，即 $a_n{a}_{n+1}=(2n-1)(2n+1)$。

设公差为 $d$，两式相减：$a_{n+1}(a_{n+2}-a_n)=a_{n+1}\cdot 2d=(2n+1)\times 4$，故 $d=2$。

令 $n=1$：$a_1{a}_2=3$，即 $3a_1=3$，$a_1=1>0$ 符合题意。

所以 $a_n=1+2(n-1)=2n-1$。

（Ⅱ） $b_n=(a_n+1)\cdot 2^{a_n}=2n\cdot 2^{2n-1}=n\cdot 4^n$。

错位相减：$T_n=1\cdot 4+2\cdot 4^2+\cdots +n\cdot 4^n$，

$4T_n=1\cdot 4^2+2\cdot 4^3+\cdots +n\cdot 4^{n+1}$。

两式相减：$-3T_n=4+4^2+\cdots +4^n-n\cdot 4^{n+1}=\frac{4(4^n-1)}{3}-n\cdot 4^{n+1}$，

所以 $T_n=\frac{n\cdot 4^{n+1}-\frac{4(4^n-1)}{3}}{3}=\frac{3n\cdot 4^{n+1}-4^{n+1}+4}{9}=\frac{4+(3n-1)\cdot 4^{n+1}}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列前 $n$ 项和与通项的关系；错位相减法

核心方法：“作差—还原—再作差”求通项；等比型 $\{n{q}^n\}$ 用错位相减

避坑指南：（1）由 $S_n$ 作差得到的是 $a_{n+1}{a}_{n+2}$，要重新标号才是 $a_n{a}_{n+1}$；（2）$-3T_n$ 里的等比和共 $n$ 项，别数错；（3）最终结果代入 $n=1$ 验证：$T_1=\frac{4+2\times 16}{9}=4=1\times 4$，通过。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“给倒数数列的前 $n$ 项和反求等差数列”是 2015 年山东卷的亮点设计，把裂项模型逆向使用，再接一个标准错位相减。

结论推广：一般化：若 $\left\{\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{n}{pn+q}$，同法可得 $a_n{a}_{n+1}=(pn-q+2)(pn+2)$ 型结构，$d=2p$；当 $\{a_n\}$ 为正项等差时解唯一。

方法推广：错位相减后务必”除以 $1-q$“并验算 $n=1,2$ 两项——这是数列大题丢分率最高的收尾步骤。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练(Links)

• 2014-山东卷理-19 解-等差数列的通项与前n项和
• 2016-山东卷理-18
• 2015-山东卷理-19 解-排列组合