2014-山东卷理-15 填-新定义函数

本题导读

本题属于新定义函数问题，考查函数关于函数对称的几何本质。通过中点坐标公式将抽象定义转化为具体的不等式恒成立问题，并利用直线与圆的位置关系（相切）寻找临界值。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 已知函数 $y=f(x)(x\in \mathbb{R})$，对函数 $y=g(x)(x\in I)$，定义 $g(x)$ 关于 $f(x)$ 的“对称函数”为函数 $y=h(x)(x\in I)$，$y=h(x)$ 满足：对任意 $x\in I$，两个点 $(x,h(x)),(x,g(x))$ 关于点 $(x,f(x))$ 对称.若 $h(x)$ 是 $g(x)=\sqrt{4-x^2}$ 关于 $f(x)=3x+b$ 的“对称函数”，且 $h(x)>g(x)$ 恒成立，则实数 $b$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解新定义：点 $(x,h(x))$ 与 $(x,g(x))$ 关于 $(x,f(x))$ 对称，由于横坐标相同，这意味着在同一条垂直线上，$f(x)$ 是 $h(x)$ 与 $g(x)$ 的中点，即： $\frac{h(x)+g(x)}{2}=f(x)⟹h(x)=2f(x)-g(x)$
2. 转化不等式：将 $h(x)>g(x)$ 转化为 $2f(x)-g(x)>g(x)$，即 $f(x)>g(x)$。
3. 几何本质分析：
   • $g(x)=\sqrt{4-x^2}$ 表示以原点为圆心，半径为 $2$ 的上半圆。
   • $f(x)=3x+b$ 表示斜率为 $3$ 的动态直线。
   • $f(x)>g(x)$ 恒成立，意味着直线 $y=3x+b$ 必须始终位于上半圆 $y=\sqrt{4-x^2}$ 的上方。
4. 寻找临界状态：直线与圆相切是变化的临界点。计算直线与圆相切时的 $b$ 值，并结合图象判断。

✅【答案】

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填：$b>2\sqrt{10}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用对称定义建立关系式 由题意，对于每一个 $x\in [-2,2]$，点 $(x,h(x))$ 与 $(x,g(x))$ 关于 $(x,f(x))$ 对称。 根据中点坐标公式： $h(x)+g(x)=2f(x)$ 已知 $h(x)>g(x)$ 恒成立，代入上式得： $2f(x)-g(x)>g(x)⟹2f(x)>2g(x)⟹f(x)>g(x)$ 即 $3x+b>\sqrt{4-x^2}$ 对 $x\in [-2,2]$ 恒成立。

第二步：数形结合确定几何意义 $y=\sqrt{4-x^2}$ 的图象是以原点为圆心，半径 $R=2$ 的上半圆。 要使直线 $y=3x+b$ 恒在上半圆上方，只需直线在区间 $[-2,2]$ 上与半圆无交点且位于其上方。

第三步：求相切时的临界值 当直线 $3x-y+b=0$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 相切时，圆心 $(0,0)$ 到直线的距离 $d=R=2$： $d=\frac{|3\times 0-1\times 0+b|}{\sqrt{3^2+(-1{)}^2}}=\frac{|b|}{\sqrt{10}}=2$ 解得 $b=\pm 2\sqrt{10}$。

第四步：结合图象判定范围

• 当 $b=2\sqrt{10}$ 时，直线与圆在第二象限相切，此时直线完全位于上半圆上方（满足 $f(x)>g(x)$）。
• 当 $b=-2\sqrt{10}$ 时，直线在下方相切，不满足 $f(x)>g(x)$。
• 同时，需检查端点。在 $x=-2$ 时，$g(-2)=0,f(-2)=-6+b$；在 $x=2$ 时，$g(2)=0,f(2)=6+b$。 为了让直线始终在半圆上方，必须 $b>2\sqrt{10}$。

故填：$b>2\sqrt{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义的理解、中点公式的应用、直线与圆的位置关系。

2. 核心方法：数形结合。将复杂的函数不等式转化为“直线在曲线上方”的几何位置关系，是避开繁琐代数运算的捷径。

3. 避坑指南：很多同学能求出 $2\sqrt{10}$，但在判断大于还是小于时出错。必须画图观察，$b$ 作为截距，向上平移则 $b$ 增大，故取大于号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 判别式法处理直线与二次曲线相切。

2. 结论推广: 若点 $(x,y)$ 关于直线 $y=k$ 对称，新纵坐标为 $2k-y$。

3. 方法推广: 解决 $f(x)>g(x)$ 恒成立问题，除了数形结合，还可以求 $F(x)=f(x)-g(x)$ 的最小值并令其大于 $0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题
• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-19 解-新定义函数
• 2026-上海卷-21 解-新定义函数
• 2013-辽宁卷理-11 单-新定义函数