2015-广东卷理-18 解-线面垂直

本题导读

本题考查立体几何中的线面垂直证明、二面角计算以及异面直线所成角的求解。第一问利用面面垂直性质定理证线面垂直；第二问通过定义法寻找二面角的平面角；第三问利用平行平移将异面直线角转化为相交直线角。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)） 如图 2，三角形 $PDC$ 所在的平面与长方形 $ABCD$ 所在的平面垂直，$PD=PC=4$，$AB=6$，$BC=3$.点 $E$ 是 $CD$ 边的中点，点 $F,G$ 分别在线段 $AB,BC$ 上，且 $AF=2FB$，$CG=2GB$.

(1) 证明：$PE\perp FG$；

(2) 求二面角 $P-AD-C$ 的正切值；

(3) 求直线 $PA$ 与直线 $FG$ 所成角的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用 $PD=PC$ 得到 $PE\perp CD$。再结合面面垂直的性质定理推出 $PE\perp$ 平面 $ABCD$。既然 $FG$ 在该平面内，垂直关系自然成立。
2. 第二问：寻找二面角 $P-AD-C$ 的平面角。由题意可证 $AD\perp$ 平面 $PDC$，从而 $\angle PDC$ 即为二面角的平面角。在 $Rt△PDE$ 中计算其正切值。
3. 第三问：异面直线角转化。通过比例关系证明 $FG\parallel AC$，将问题转化为求 $\angle PAC$ 的余弦值。在 $△PAC$ 中使用余弦定理求解。

✅【答案】

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𝑃𝐸⟂𝐹𝐺.（2）短答案：二面角𝑃−𝐴𝐷−𝐶的正切值为√73.（3）短答案：余弦值为9√5

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $PD=PC$，点 $E$ 为 $CD$ 中点，所以 $PE\perp CD$。 又因为平面 $PDC\perp$ 平面 $ABCD$，交线为 $CD$，$PE\subset$ 平面 $PDC$，且 $PE\perp CD$， 所以 $PE\perp$ 平面 $ABCD$。 又因为 $FG\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $PE\perp FG$。

(2) 解： 由（1）知 $PE\perp$ 平面 $ABCD$，而 $AD\subset$ 平面 $ABCD$，所以 $PE\perp AD$。 在长方形 $ABCD$ 中，$AD\perp DC$。 又因为 $PE\cap DC=E$，所以 $AD\perp$ 平面 $PDC$。 而 $PD,CD\subset$ 平面 $PDC$，所以 $AD\perp PD,AD\perp CD$。 故 $\angle PDC$ 为二面角 $P-AD-C$ 的平面角。 在 $Rt△PDE$ 中，$PE=\sqrt{P{D}^2-D{E}^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。 所以 $\tan \angle PDC=\frac{PE}{DE}=\frac{\sqrt{7}}{3}$。 即二面角 $P-AD-C$ 的正切值为 $\frac{\sqrt{7}}{3}$。

(3) 解： 在 $△ABC$ 中，因为 $\frac{AF}{AB}=\frac{BG}{BC}=\frac{1}{3}$ 不成立，校正图中逻辑： 由 $AF=2FB$ 得 $FB=\frac{1}{3}AB=2$；由 $CG=2GB$ 得 $GB=\frac{1}{3}BC=1$。 在 $Rt△FBG$ 中，$FG=\sqrt{F{B}^2+G{B}^2}=\sqrt{5}$。 在 $Rt△ABC$ 中，$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$。 故 $\frac{FB}{AB}=\frac{GB}{BC}=\frac{1}{3}$，所以 $FG\parallel AC$。 直线 $PA$ 与 $FG$ 所成的角等于直线 $PA$ 与 $AC$ 所成的角，即 $\angle PAC$（或其补角）。 由（2）得 $AD\perp$ 平面 $PDC$，则 $AD\perp PD⟹PA=\sqrt{P{D}^2+A{D}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。 同理可得 $PC\perp BC⟹PC=4$（题设已给），且 $BC\perp$ 平面 $PDC$（通过相同逻辑）。 在 $△PAC$ 中，$PA=5,AC=3\sqrt{5},PC=4$。 由余弦定理： $\cos \angle PAC=\frac{P{A}^2+A{C}^2-P{C}^2}{2PA\cdot AC}=\frac{5^2+(3\sqrt{5}{)}^2-4^2}{2\times 5\times 3\sqrt{5}}=\frac{25+45-16}{30\sqrt{5}}=\frac{54}{30\sqrt{5}}=\frac{9}{5\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{25}$ 故直线 $PA$ 与直线 $FG$ 所成角的余弦值为 $\frac{9\sqrt{5}}{25}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 垂直转化：线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的互相转化是立体几何证明的核心。
• 二面角判定：二面角的平面角必须满足其两条边分别在两个半平面内，且都垂直于二面角的棱。
• 平行平移：处理异面直线角时，“平移”是标准动作，使两直线相交于同一点构成三角形。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法推广:
  • 空间向量法：本题亦可建立以 $E$ 为原点，$ED,E{B}^{\prime }$（垂直于 $CD$ 方向）, $EP$ 为轴的空间直角坐标系，通过向量夹角公式计算。
• 相关知识点:

  • - **三垂线定理**：常用于寻找二面角的平面角。
    

🔗【关联脉络】

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• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练(Links)

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