2015-新课标II卷文-09 单-等比数列

本题导读

等比数列求项。$a_3{a}_5$ 恰好等于 $a_4^2$，把条件整理成关于 $a_4$ 的方程，一步求出 $a_4$，再回推公比。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\frac{1}{4}$，$a_3{a}_5=4(a_4-1)$，则 $a_2=$ ()

A. $2$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{1}{8}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用等比中项：$a_3{a}_5=a_4^2$，条件化为 $a_4^2=4a_4-4$。
2. 即 $(a_4-2{)}^2=0$，得 $a_4=2$。
3. 由 $a_4=a_1{q}^3$ 解出 $q=2$，再算 $a_2=a_{1}q$。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

由等比数列的性质，$a_3$、$a_4$、$a_5$ 成等比，故

$a_3{a}_5=a_4^2.$

代入条件 $a_3{a}_5=4(a_4-1)$ 得

$a_4^2=4a_4-4,\text{即}(a_4-2{)}^2=0,$

所以 $a_4=2$.

设公比为 $q$，由 $a_4=a_1{q}^3$：

$\frac{1}{4}{q}^3=2⟹q^3=8⟹q=2.$

故

$a_2=a_{1}q=\frac{1}{4}\times 2=\frac{1}{2}.$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比中项 $a_n^2=a_{n-1}{a}_{n+1}$；等比数列通项公式。

2. 核心方法：“见到 $a_3{a}_5$ 就换成 $a_4^2$“——先把条件压缩到一个项上，再用通项公式回推公比，比直接设 $q$ 展开更简洁。

3. 避坑指南：① $a_4^2=4a_4-4$ 配方后是 $(a_4-2{)}^2=0$，只有唯一解，别当成两个根；② 求出 $a_4$ 后必须回推 $q$，不能直接拿 $a_4$ 当答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：等比数列小题在新课标Ⅱ卷中位置稳定（多在 3~9 题），2015 年理科卷第 4 题同考等比数列，属高频基础题。

2. 结论推广: 一般地，$a_n{a}_{n+2}=a_{n+1}^2$ 对任意等比数列成立（各项不为零）；若题目给的是 $a_2{a}_4=4(a_3-1)$，同样整体代换成 $a_3^2=4(a_3-1)$，方法完全一致。

3. 方法推广: 等比数列小题的两条主线：① 下标具有对称关系时用等比中项整体代换；② 需要具体项时统一用 $a_n=a_1{q}^{n-1}$ 建立方程。先代换、后设 $q$，可显著减少运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-4
• 2013年新课标Ⅱ理-3