2007-新课标卷文-06 单-等比数列的性质

本题导读

本题考查等比数列的性质，以及二次函数的顶点坐标。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） 已知 $a$，$b$，$c$，$d$ 成等比数列，且曲线 $y=x^2-2x+3$ 的顶点是 $(b,c)$，则 $ad$ 等于 ()

A. $3$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $-2$

🔍【思路分析】

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顶点 $(b,c)=\left(-\frac{-2}{2\times 1},\frac{4\times 3-(-2{)}^2}{4\times 1}\right)=(1,2)$；等比数列隔项之积相等：$ad=bc$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$y=x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2$，顶点为 $(1,2)$，故 $b=1$，$c=2$． 等比数列 $\{a_n\}$ 中，若 $a,b,c,d$ 成等比，则 $a\cdot d=b\cdot c$（第 $1$、$4$ 项之积等于第 $2$、$3$ 项之积）． 所以 $ad=bc=1\times 2=2$．故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的性质

核心方法：隔项等积 $ad=bc$（下标和相等）

避坑指南：顶点 $(b,c)$：$b$ 是横坐标、$c$ 是纵坐标，别颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列性质与二次函数顶点的交汇是本题亮点。

结论推广：等比数列中若 $m+n=p+q$，则 $a_m{a}_n=a_p{a}_q$。

方法推广：先配方求顶点，再用等积性质一步到位。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练(Links)

• 2015-新课标II卷文-09 单-等比数列
• 2014-大纲卷理-10 单-等比数列的性质