2015-新课标II卷文-17 解-解三角形

本题导读

角平分线 + 两问递进。破题点是把"$BD=2DC$"翻译成面积比（同高等底），再与角平分线给出的正弦关系联立，得到 $AB:AC$。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） $△ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 上的点，$AD$ 平分 $\angle BAC$，$BD=2DC$.

(1) 求 $\frac{\sin \angle B}{\sin \angle C}$；

(2) 若 $\angle BAC=60^{\circ }$，求 $\angle B$.

🔍【思路分析】

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1. （1）$△ABD$ 与 $△ACD$ 同高（都以 $A$ 到 $BC$ 的距离为高），面积比等于底边比 $BD:DC=2:1$。
2. 另一方面，由 $\angle BAD=\angle CAD$ 用面积公式表示，得面积比等于 $AB:AC$。
3. 由 $\frac{AB}{AC}=2$，再用正弦定理得 $\frac{\sin \angle B}{\sin \angle C}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$。
4. （2）在 $\angle A=60^{\circ }$ 与 $AB:AC=2$ 下用余弦定理定形，再用正弦定理求角。

✅【答案】

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(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\angle B=30^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 因为 $D$ 在线段 $BC$ 上，$△ABD$ 与 $△ACD$ 有相同的高（顶点 $A$ 到直线 $BC$ 的距离），所以

$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{BD}{DC}=2.$

又 $AD$ 平分 $\angle BAC$，故 $\angle BAD=\angle CAD$，于是

$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin \angle BAD}{\frac{1}{2}AC\cdot AD\sin \angle CAD}=\frac{AB}{AC}.$

所以 $\frac{AB}{AC}=2$.

在 $△ABC$ 中由正弦定理 $\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle B}$，得

$\frac{\sin \angle B}{\sin \angle C}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}.$

（2） 由（1）知 $\frac{AB}{AC}=2$。设 $AC=k$，则 $AB=2k$.

由 $\angle BAC=60^{\circ }$ 及余弦定理：

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos 60^{\circ }=4k^2+k^2-2k^2=3k^2,$

故 $BC=\sqrt{3}k$.

再由正弦定理 $\frac{\sin \angle B}{\sin \angle C}=\frac{1}{2}$，且 $\angle B+\angle C=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$，所以 $\angle C=120^{\circ }-\angle B$，从而

$2\sin \angle B=\sin (120^{\circ }-\angle B)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \angle B+\frac{1}{2}\sin \angle B.$

移项得 $\frac{3}{2}\sin \angle B=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \angle B$，即 $\tan \angle B=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

又 $0^{\circ }<\angle B<120^{\circ }$，故

$\angle B=30^{\circ }.$

（验证：此时 $\angle C=90^{\circ }$，$\frac{\sin \angle B}{\sin \angle C}=\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}$，与（1）一致；且三边长之比为 $AC:AB:BC=1:2:\sqrt{3}$，与 $AB=2AC$、$\angle BAC=60^{\circ }$ 相符。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形面积公式；正弦定理与余弦定理；角平分线的面积刻划。

2. 核心方法：”$D$ 分底边 $\Rightarrow$ 面积比等于底边比；角平分线 $\Rightarrow$ 面积比等于邻边比”，两式一联立即得 $AB:AC$，这是本题的核心通道。

3. 避坑指南：① 正弦定理的方向是 $\frac{AB}{AC}=\frac{\sin \angle C}{\sin \angle B}$，所求为它的倒数 $\frac{1}{2}$，别写成 $2$；② （2）中求出 $\tan \angle B$ 后要结合角的范围取值，$\angle B$ 只能取锐角 $30^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“角平分线 + 底边分点”是解三角形题的经典构图，2012、2013、2015 年新课标Ⅱ卷理科第 17 题连续在同一位置考查解三角形，可见该位置的高度稳定性。

2. 结论推广: 一般地，若 $AD$ 平分 $\angle BAC$ 且 $BD:DC=m:n$，则 $AB:AC=m:n$（角平分线定理）；反之若已知 $AB:AC=t$，则 $\frac{\sin \angle B}{\sin \angle C}=\frac{1}{t}$. 该结论可直接用于同类填空题。

3. 方法推广: 解三角形解答题决策树：① 条件全是角 → 正弦定理化边；② 出现角平分线、中线、高 → 先找面积关系或向量关系；③ 定了边角关系后一律交给余弦定理求第三边。求角时优先”先定形（边长比）再定角”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.07 角平分线模型

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-17 解-正弦定理
• 2013年新课标Ⅱ理-17