2013-新课标II卷文-04 单-解三角形面积

本题导读

本题考查正弦定理，以及三角形的面积公式。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $b=2$，$B=\frac{\pi }{6}$，$C=\frac{\pi }{4}$，则 $△ABC$ 的面积为()

A. $2\sqrt{3}+2$　　　　　　B. $\sqrt{3}+1$　　　　　　C. $2\sqrt{3}-2$　　　　　　D. $\sqrt{3}-1$

🔍【思路分析】

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1. $A=\pi -B-C=\pi -\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{12}$。
2. 由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=2R$ 得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}=4$。
3. 求出 $a$、$c$ 后代入 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

由内角和定理， $A=\pi -B-C=\pi -\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{12}.$ 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4,$ 所以 $a=4\sin \frac{7\pi }{12}=4\sin 105^{\circ }=4\times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\sqrt{6}+\sqrt{2},$ $c=4\sin \frac{\pi }{4}=4\times \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.$ 于是 $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})\times 2\sqrt{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}=\sqrt{3}+1.$ 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与三角形的面积公式

核心方法：先由内角和求第三角，再用正弦定理求边，最后用 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$

避坑指南：用面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$ 时，两边的夹角必须是 $B$；若误取成 $\frac{1}{2}ab\sin C$ 又不核查对应关系，容易算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形（全国卷必考大题或小题）。

结论推广：三角形内角和 $A+B+C=\pi$；正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$。

方法推广：已知两角一边求面积的通法：内角和求第三角 → 正弦定理求另一已知边的邻边 → 面积公式（两边夹一角）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-17 解-解三角形
• 2014-新课标II卷文-17 解-解三角形四边形
• 2013年新课标Ⅱ理-4