2015-新课标II卷理-09 单-球的面积体积

本题导读

本题考查球体内接三棱锥体积的最值问题。核心在于通过几何直观确定当三棱锥的高最大时体积取最大值，从而建立半径与体积的关系。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 已知 $A,B$ 是球 $O$ 的球面上两点，$\angle AOB=90^{\circ }$，$C$ 为该球面上的动点.若三棱锥 $O-ABC$ 体积的最大值为 36，则球 $O$ 的表面积为 ()

A. $36\pi$　　　　　　B. $64\pi$　　　　　　C. $144\pi$　　　　　　D. $256\pi$ 

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析底面：三棱锥 $O-ABC$ 可以看作以 $△OAB$ 为底面，$C$ 到平面 $OAB$ 的距离为高 $h$ 的三棱锥。
2. 计算底面积：设球半径为 $R$，则 $OA=OB=R$。由于 $\angle AOB=90^{\circ }$，底面 $△OAB$ 是等腰直角三角形，$S_{△OAB}=\frac{1}{2}{R}^2$。
3. 确定最大高度：当点 $C$ 位于垂直于平面 $OAB$ 的球半径端点时，点 $C$ 到平面 $OAB$ 的距离 $h$ 最大，此时 $h_{max}=R$。
4. 建立体积等式：利用 $V=\frac{1}{3}{S}_{底}h$ 求出 $R$，进而求得球的表面积 $S=4\pi R^2$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析体积最大时的状态 设球 $O$ 的半径为 $R$。 三棱锥 $O-ABC$ 的体积也可以看作三棱锥 $C-OAB$ 的体积。 底面 $△OAB$ 的面积为： $S_{△OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin 90^{\circ }=\frac{1}{2}{R}^2$ 当点 $C$ 到平面 $OAB$ 的距离 $h$ 最大时，体积最大。易知，当 $OC\perp$ 平面 $OAB$ 时，$h_{max}=R$。

第二步：利用体积最大值求半径 $R$ $V_{max}=\frac{1}{3}\cdot S_{△OAB}\cdot h_{max}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{R}^2\cdot R=\frac{1}{6}{R}^3$ 已知 $V_{max}=36$，则： $\frac{1}{6}{R}^3=36⟹R^3=216⟹R=6$

第三步：计算球的表面积 球的表面积公式为 $S=4\pi R^2$： $S=4\pi \cdot 6^2=4\pi \cdot 36=144\pi$

答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：球的表面积公式 $S=4\pi R^2$；棱锥体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh$。
• 核心方法：等体积转换法。将 $O$ 作为顶点还是将 $C$ 作为顶点，取决于哪种方式更容易确定底面积和高。
• 避坑指南：注意体积公式中的系数 $\frac{1}{3}$ 和三角形面积中的 $\frac{1}{2}$，容易在连乘时漏掉导致结果错选。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 球内接长方体的体对角线等于球直径 $2R$。 *方法推广: 空间几何体最值问题通常先固定底面，再寻找高的最大值（通常对应垂直关系）。

• 相关知识点：球的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$、球截面性质。

🔗【关联脉络】

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