2015-新课标II卷理-12 单-导数综合

本题导读

本题是导数与函数性质综合的压轴选择题。核心考查通过导数不等式的结构特征构造辅助函数，并结合原函数的奇偶性推导辅助函数的单调性与对称性，最终利用数形结合解不等式。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 设函数 $f^{\prime }(x)$ 是奇函数 $f(x)$（$x\in \mathbb{R}$）的导函数，$f(-1)=0$.当 $x>0$ 时，$x{f}^{\prime }(x)-f(x)<0$，则使得 $f(x)>0$ 成立的 $x$ 的取值范围是 ()

A. $(-\infty ,-1)\cup (0,1)$　　　　　　　　　　　　　B. $(-1,0)\cup (1,+\infty )$

C. $(-\infty ,-1)\cup (-1,0)$　　　　　　　　　　　　D. $(0,1)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构造辅助函数：观察不等式 $x{f}^{\prime }(x)-f(x)<0$。其形式类似于商的导数公式 ${\left[\frac{f(x)}{x}\right]}^{\prime }=\frac{x{f}^{\prime }(x)-f(x)}{x^2}$。 2. 判定辅助函数性质：
   • 设 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ ($x\ne 0$)。
   • 单调性：利用已知不等式确定 $g(x)$ 在 $x>0$ 时的单调性。
   • 奇偶性：利用 $f(x)$ 为奇函数判定 $g(x)$ 的奇偶性。
2. 确定特殊点：利用 $f(-1)=0$ 及奇偶性确定 $g(x)$ 的零点。
3. 数形结合：将 $f(x)>0$ 转化为关于 $x$ 和 $g(x)$ 乘积的不等式，画出 $g(x)$ 的示意图求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：构造函数并求导 令 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ ($x\ne 0$)，则 $g^{\prime }(x)=\frac{x{f}^{\prime }(x)-f(x)}{x^2}$。 已知当 $x>0$ 时，$x{f}^{\prime }(x)-f(x)<0$，且 $x^2>0$。 所以当 $x>0$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，即 $g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。

第二步：判定奇偶性 因为 $f(x)$ 是奇函数，即 $f(-x)=-f(x)$。 则 $g(-x)=\frac{f(-x)}{-x}=\frac{-f(x)}{-x}=\frac{f(x)}{x}=g(x)$。 所以 $g(x)$ 是定义域上的偶函数。

第三步：利用零点分析 已知 $f(-1)=0$，则 $g(-1)=\frac{f(-1)}{-1}=0$。 又因 $g(x)$ 是偶函数，故 $g(1)=g(-1)=0$。 由于 $g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上递减且 $g(1)=0$：

• 当 $0<x<1$ 时，$g(x)>g(1)=0$；
• 当 $x>1$ 时，$g(x)<g(1)=0$。 由偶函数对称性，在 $(-\infty ,0)$ 上：
• 当 $-1<x<0$ 时，$g(x)>0$；
• 当 $x<-1$ 时，$g(x)<0$。

第四步：解不等式 $f(x)>0$ 不等式 $f(x)>0$ 等价于 $x\cdot \frac{f(x)}{x}>0$，即 $x\cdot g(x)>0$。 分两种情况讨论：

1. 若 $x>0$，则需 $g(x)>0$。由上述分析知 $0<x<1$。
2. 若 $x<0$，则需 $g(x)<0$。由上述分析知 $x<-1$。 综上所述，$x\in (-\infty ,-1)\cup (0,1)$。

答案：A 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：构造函数法（由导数不等式联想原函数形式）；函数性质（奇偶性、单调性）的综合运用。
• 核心方法：构造法。常见的构造形式包括：
  • $x{f}^{\prime }(x)+f(x)\to [xf(x){]}^{\prime }$
  • $x{f}^{\prime }(x)-f(x)\to [\frac{f(x)}{x}{]}^{\prime }$
  • $f^{\prime }(x)+f(x)\to [e^{x}f(x){]}^{\prime }$
• 避坑指南：奇函数的商（分母为 $x$）通常是偶函数；在解最后的积不等式时，千万不要漏掉 $x<0$ 的分类讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若 $f(x)$ 为奇函数，则其导函数 $f^{\prime }(x)$ 为偶函数。 *方法推广: 遇到抽象函数不等式，第一时间寻找分子分母结构与导数公式的联系。

• 相关知识点：函数的零点、轴对称性。

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