2015-新课标I卷文-13 填-等比数列

本题导读

基本量法：$a_{n+1}=2a_n$ 给出等比结构，$S_n=126$ 套求和公式解 $n$。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=2$，$a_{n+1}=2a_n$，$S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_n=126$，则 $n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\{a_n\}$ 是首项 $2$、公比 $2$ 的等比数列。
2. $S_n=2(2^n-1)=126$，解 $2^n$。

✅【答案】

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$6$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_{n+1}=2a_n$ 知 $\{a_n\}$ 是首项 $a_1=2$、公比 $q=2$ 的等比数列.

$S_n=\frac{2(2^n-1)}{2-1}=2(2^n-1)=126⟹2^n=64=2^6,$

故 $n=6$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列的判定、通项与前 $n$ 项和公式。

2. 核心方法：“递推定公比 → 求和公式列方程”。

3. 避坑指南：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=2(2^n-1)$，别把首项 2 与公比 2 的位置写混。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：等比数列求和反求项数是小题常见收口方式，$2^n=64=2^6$ 的幂运算全国卷常设为 $2$ 的幂。

2. 结论推广: 若 $S_n=510$，则 $2^n=256$，$n=8$；$S_n$ 取 $2(2^n-1)$ 型的值时 $n$ 恒有整数解。

3. 方法推广: 等比数列题先认”首项 + 公比”，求和、通项、中项全部由这两个量生成。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷I文-17
• 2015-新课标I卷理-9