2014-新课标II卷文-16 填-数列周期

本题导读

迭代三轮得 $a_{n+3}=a_n$，$a_8=a_2=\frac{1}{1-a_1}=2$，解得 $a_1=\frac{1}{2}$。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{1-a_n}$，$a_8=2$，则 $a_1=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

迭代三轮得 $a_{n+3}=a_n$，$a_8=a_2=\frac{1}{1-a_1}=2$，解得 $a_1=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $a_1=x$，迭代：

$a_2=\frac{1}{1-x}$；

$a_3=\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}=\frac{1-x}{1-x-1}=\frac{x-1}{x}$；

$a_4=\frac{1}{1-\frac{x-1}{x}}=\frac{x}{x-(x-1)}=x=a_1$。

所以 $\{a_n\}$ 是周期为 3 的周期数列。$8=3\times 2+2$，故 $a_8=a_2=\frac{1}{1-x}$。

由 $\frac{1}{1-x}=2$ 得 $1-x=\frac{1}{2}$，$x=\frac{1}{2}$。即 $a_1=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列的递推关系；周期数列

2. 核心方法：迭代找周期 $a_{n+3}=a_n$，再利用 $a_8=a_2$ 回代

3. 避坑指南：分式迭代要步步通分，$a_3=\frac{x-1}{x}$ 这一步符号最容易错；$8$ 除以 3 余 2，对应 $a_2$ 而不是 $a_3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 递推数列周期题（doc 考点定位：数列），与 2014 年新课标Ⅰ理第 17 题（递推数列）同章。

2. 结论推广: 一般地，$a_{n+1}=\frac{1}{1-a_n}$ 型分式递推的迭代周期为 3；更一般地，分式线性递推 $a_{n+1}=\frac{a{a}_n+b}{c{a}_n+d}$ 的周期性可用不动点方程 $x=\frac{ax+b}{cx+d}$ 判定。

3. 方法推广: 分式递推小题：直接迭代 3～4 项找周期，再按余数定位目标项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-17 解-由 a_n 与 S_n 的关
• 2015-新课标I卷文-13 填-等比数列