2015-新课标I卷理-06 单-圆锥体积

本题导读

本题借用《九章算术》中的“委米依垣”问题，考查圆锥体积公式及弧长公式在实际情境中的应用。核心在于识别米堆的几何模型为圆锥的四分之一，并通过近似计算得出结果。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有 ()

A. 14 斛　　　　　B. 22 斛　　　　　C. 36 斛　　　　　D. 66 斛

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构建几何模型：米堆是一个圆锥的 $\frac{1}{4}$。
2. 计算底面半径 $r$：底面弧长为 8 尺，且该弧长对应底面圆周长的 $\frac{1}{4}$（因为是靠墙角放置），由此求出半径 $r$。注意题目给出的 $\pi \approx 3$。
3. 计算体积 $V$：利用圆锥体积公式 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$，再乘以 $\frac{1}{4}$ 得到米堆的实际体积。
4. 单位换算：将总体积除以每斛米的体积 1.62，估算得出最终斛数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 求解底面半径 $r$： 设圆锥底面半径为 $r$，由于米堆依垣内角堆放，底面弧长为底面圆周的 $\frac{1}{4}$。 则 $\frac{1}{4}\cdot 2\pi r=8⟹\frac{\pi }{2}r=8$。 取 $\pi \approx 3$，则 $\frac{3}{2}r\approx 8⟹r\approx \frac{16}{3}$ 尺。

2. 求解米堆体积 $V$： 米堆体积为圆锥体积的 $\frac{1}{4}$： $V=\frac{1}{4}\times \left(\frac{1}{3}\pi r^{2}h\right)$ 代入 $\pi \approx 3,r\approx \frac{16}{3},h=5$： $V\approx \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}\times 3\times {\left(\frac{16}{3}\right)}^2\times 5$ $V\approx \frac{1}{4}\times \frac{256}{9}\times 5=\frac{64\times 5}{9}=\frac{320}{9}\approx 35.56$ 立方尺。

3. 求解米的总斛数： 已知 1 斛米体积约为 1.62 立方尺： 斛数 $\approx \frac{V}{1.62}\approx \frac{35.56}{1.62}\approx 21.95$ 斛。 观察选项，最接近的估算值为 22 斛。

最终答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 审题关键：必须注意到“依垣内角”意味着该米堆底面弧仅是完整圆周的 $\frac{1}{4}$。如果错算成 $\frac{1}{2}$ 或完整圆锥，会导致结果成倍偏差。
2. 计算技巧：题目明确给出 $\pi \approx 3$，在计算中直接带入可以极大简化分数运算。
3. 文化背景：此类题目体现了高考数学对数学文化和传统数学成就的考查，解题关键在于将古文描述准确转化为现代数学语言。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若米堆依墙而放（非墙角），则弧长为底面圆周的 $\frac{1}{2}$；若米堆平地放置，则弧长为完整圆周。
• 方法推广:
  • 投影法：对于此类切割几何体，可以先求出完整几何体的特征量，再按比例系数（此处系数为 $1/4$）处理。
• 相关知识点:

  • - **斛（hú）**：中国古代计量单位，在不同朝代容积有所变化，现代常作为数学背景考查。
    

🔗【关联脉络】

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类题演练(Links)

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• 2024-甲卷文-19 解-立体几何综合
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