2007-广东卷理-04 单-分段函数几何意义

本题导读

本题考查实际应用场景下路程与时间函数图象的识别。核心在于通过分析客车在各阶段的运动状态（匀速、停留），将其转化为图象中直线的斜率（速度）与关键时间点、路程点的几何特征，从而排查筛选出正确选项。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 客车从甲地以 $60\text{ km/h}$ 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以 $80\text{ km/h}$ 的速度匀速行驶 1 小时到达丙地. 下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程 $s$ 与时间 $t$ 之间关系的图象中，正确的是()

🔍【思路分析】

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1. 第一阶段（ $0\le t\le 1$）：

• 匀速行驶 1 小时，速度为 $60\text{ km/h}$。
• $t=1\text{ h}$ 时，路程 $s=60\times 1=60\text{ km}$。
• 图象为一段斜率为 60，连接 $(0,0)$ 与 $(1,60)$ 的线段。四幅图均符合。

2. 第二阶段（ $1<t\le 1.5$）：

• 在乙地停留半小时（即 $0.5\text{ h}$），此时时间从 $t=1$ 到 $t=1.5$。
• 停留期间路程 $s$ 保持 $60\text{ km}$ 不变，图象为一条水平线段，端点为 $(1,60)$ 到 $(1.5,60)$。
• 观察发现：C选项在该段出现了图形垂直断层跃迁，不合物理实际，排除C。

3. 第三阶段（ $1.5<t\le 2.5$）：

• 以 $80\text{ km/h}$ 的速度匀速行驶 1 小时，此时时间从 $t=1.5$ 到 $t=2.5$。
• 后半程行驶路程 $\Delta s=80\times 1=80\text{ km}$。
• 到达丙地时的总路程 $s_{\text{总}}=60+80=140\text{ km}$。
• 最终终点坐标必须精确指向 $(2.5,140)$。

4. 比对选项定位：

• A项：终点在 $t=3,s=160$，错误；

• B项：终点在 $t=2.5,s=140$，正确；

• D项：终点在 $t=2.5,s=140$ 吗？仔细看D项图，终点落在了 $t=2.5,s=140$。慢着，对比B与D的后半程斜率，B和D的终点位置是一样的，但D项中从 $1.5$ 到 $2.5$ 的直线斜率（速度）与前半程（ $0$ 到 $1$）完全相同，显然前半程速度 60 与后半程速度 80 对应的斜率不应该相等，后半程更陡峭。B项后半程比前半程明显陡峭，符合 $80>60$ 的斜率特征。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：将客车的完整行驶过程顺次拆解为三个分段进行定量代数分析：

• 阶段一：从甲地到乙地（ $0\le t\le 1$） 客车以 $v_1=60\text{ km/h}$ 的速度匀速行驶 1 小时。 当 $t=1\text{ h}$ 时，行驶的总路程为 $s=60\times 1=60\text{ km}$。 对应的图象是一条自原点 $(0,0)$ 出发、斜率为 60 的线段，终点为 $(1,60)$。

• 阶段二：在乙地停留（ $1<t\le 1.5$） 客车在乙地停留半小时（ $0.5\text{ h}$），此时总时间到达 $t=1+0.5=1.5\text{ h}$。 在停留期间，客车相对于甲地的累计路程 $s$ 保持 $60\text{ km}$ 处于静止恒定状态。 对应的图象是一条平行的水平线段，区间为 $t\in [1,1.5]$，高度 $s=60$。 此时可以排除 C 选项（图象不连续，不符合路程随时间连续流逝的物理规律）。

• 阶段三：从乙地到丙地（ $1.5<t\le 2.5$） 客车以 $v_2=80\text{ km/h}$ 的更高速度匀速行驶 1 小时，此时总时间到达 $t=1.5+1=2.5\text{ h}$。 后半程增加的路程为 $\Delta s=80\times 1=80\text{ km}$。 到达丙地时，全行程的累计总路程为 $s=60+80=140\text{ km}$。 对应的图象是一条连接点 $(1.5,60)$ 到终点 $(2.5,140)$ 的线段。

综合上述分析，终点处的精确坐标为 $(2.5,140)$。 排查 A 选项（终点为 $(3,160)$，错误）。

再比较 B 选项与 D 选项： 在路程-时间（ $s-t$）图象中，直线的斜率在物理学上严格代表运动的速度大小。 因为后半程速度 $v_2=80\text{ km/h}$ 严格大于前半程速度 $v_1=60\text{ km/h}$， 所以后半程直线的倾斜程度（斜率）应当比前半程更加陡峭。 观察图象，D 选项两段斜率完全相同，属于伪图；而 B 选项后半程明显变陡，完全符合。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段应用题的图象化表征、 $s-t$ 图象中斜率等于速度（ $k=v$）的数形数理转换。
2. 核心方法：端点坐标排查法、图象斜率定性比对法。
3. 避坑指南：

• 很多同学能通过计算总时间 2.5 小时和总路程 140 km 快速排除 A 和 C，但在 B 和 D 之间极易因肉眼看错终点或忽视斜率差异而误选。必须牢记运动图象中“斜率看速度，水平看静止”的红线铁律，速度改变了， 直线的倾斜度必须发生肉眼可见的变化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自初中数学/高中数学必修一中有关函数图象与现实物理运动（匀速直线运动）相融合的经典基础题。

2. 结论推广: 在一切位移-时间或路程-时间图象中，物体的速度改变必然对应着直线斜率的跃变；若物体中途停歇，图象恒表现为一段平躺的水平线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-06 单-圆锥体积
• 2020-新高考I卷-07 单-向量数量积