2015-新课标I卷理-22 解-圆的切线

本题导读

本题是几何证明选讲题。第一问考查切线的判定，核心在于证明半径与切线垂直；第二问通过线段比例关系，利用射影定理构造方程求解角度。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） （选修 4-1：几何证明选讲） 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$AC$ 是 $\odot O$ 的切线，$BC$ 交 $\odot O$ 于点 $E$.

(1) 若 $D$ 为 $AC$ 的中点，证明：$DE$ 是 $\odot O$ 的切线；

(2) 若 $OA=\sqrt{3}CE$，求 $\angle ACB$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（切线证明）：
   • 证明 $DE$ 是切线，即需证明 $OE\perp DE$。
   • 连接 $AE$。由于 $AB$ 是直径，可得 $AE\perp BC$。在 $Rt△AEC$ 中，$D$ 是斜边 $AC$ 的中点，利用“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得 $DE=DA=DC$。
   • 通过等腰三角形的角度性质，将 $\angle OED$ 转化为与已知垂直关系（如 $AC\perp AB$）相关的角度之和。
2. 第二问（角度求解）：
   • 设 $CE=1$，则 $OA=\sqrt{3}⟹AB=2\sqrt{3}$。
   • 在 $Rt△ABC$ 中，利用射影定理 $A{E}^2=CE\cdot BE$。设 $AE=x$，在 $Rt△ABE$ 中表示出 $BE$，从而列出关于 $x$ 的方程。
   • 求出 $x$ 后，在 $Rt△AEC$ 中利用正切或正弦函数值确定 $\angle ACB$。

✅【答案】

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（1）𝐷𝐸是⊙𝑂的切线；（2）60∘.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：$DE$ 是 $\odot O$ 的切线

1. 构造辅助线与判定垂直： 连接 $AE,OE$。 因为 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，所以 $\angle AEB=90^{\circ }$，即 $AE\perp BC$。 由此可知 $△AEC$ 是直角三角形。

2. 利用中线性质： 在 $Rt△AEC$ 中，$D$ 为斜边 $AC$ 的中点， 所以 $DE=DC=\frac{1}{2}AC$，故 $\angle DEC=\angle DCE$。

3. 等量代换证明垂直： 因为 $OE=OB$，所以 $\angle OEB=\angle OBE$。 在 $Rt△ABC$ 中，$\angle ACB+\angle ABC=90^{\circ }$。 即 $\angle DCE+\angle OBE=90^{\circ }$。 代换得：$\angle DEC+\angle OEB=90^{\circ }$。 因为 $\angle DEC+\angle OED+\angle OEB=180^{\circ }$？不，此处应看： $\angle OED=180^{\circ }-(\angle DEC+\angle OEB)=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$。 即 $OE\perp DE$。 由于 $OE$ 为 $\odot O$ 的半径，故 $DE$ 是 $\odot O$ 的切线。

(2) 求 $\angle ACB$ 的大小

1. 设定参数： 设 $CE=1$，由 $OA=\sqrt{3}CE$ 得 $OA=\sqrt{3}$。 则 $AB=2\sqrt{3}$。
2. 利用射影定理列方程： 设 $AE=x$。在 $Rt△ABE$ 中，$BE=\sqrt{A{B}^2-A{E}^2}=\sqrt{12-x^2}$。 根据射影定理（或相似三角形 $△AEC\sim △BEA$）： $A{E}^2=CE\cdot BE⟹x^2=1\cdot \sqrt{12-x^2}$。 两边平方得：$x^4=12-x^2⟹x^4+x^2-12=0$。
3. 求解方程： 令 $t=x^2$，则 $t^2+t-12=0⟹(t+4)(t-3)=0$。 因为 $t>0$，所以 $x^2=3⟹x=\sqrt{3}$。
4. 确定角度： 在 $Rt△AEC$ 中，$\tan \angle ACB=\frac{AE}{CE}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$。 故 $\angle ACB=60^{\circ }$。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 中线的桥梁作用：在圆的切线证明题中，如果出现直角三角形，斜边中线通常是连接已知长度与未知角度的关键。
2. 射影定理的识别：在直角三角形内由直角顶点向斜边作垂线，会出现三个相似三角形，射影定理（$h^2=pq,a^2=pc,b^2=qc$）是此类计算的利器。
3. 避坑指南：证明切线必须有两个要素：一是直线过半径外端点，二是直线垂直于该半径。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若 $AC$ 是切线，$AE\perp BC$，则始终有 $△AEC\sim △ABC\sim △EBA$。
• 方法推广:
  • 相似比法：第二问也可以通过 $\frac{CE}{AE}=\frac{AE}{BE}$ 直接求解比例，无需设具体数值。
• 相关知识点:

  • - **弦切角定理**：$\angle CAE = \angle ABC$（虽本题未直接使用，但在圆类题目中常用）。
    

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 11.11三角形的四心的核心结论全梳理
• 18.09 阿基米德三角形

类题演练(Links)

• 2013年湖北卷理-15
• 2014-大纲卷理-15 填-切线
• 2013年湖南卷理-11