2015-江苏卷-12 填-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的渐近线性质以及点到直线距离的极值问题。核心在于通过观察直线与渐近线的平行关系，将距离的下界转化为两条平行线之间的距离。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$P$ 为双曲线 $x^2-y^2=1$ 右支上的一个动点.若点 $P$ 到直线 $x-y+1=0$ 的距离大于 $c$ 恒成立，则实数 $c$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析双曲线：方程 $x^2-y^2=1$ 是等轴双曲线，其渐近线方程为 $y=\pm x$，即 $x-y=0$ 和 $x+y=0$。
2. 位置关系观察：已知直线 $l:x-y+1=0$ 的斜率为 1，与渐近线 $l_1:x-y=0$ 平行。
3. 距离演变规律：在双曲线右支上，当动点 $P$ 沿曲线向右上方无限延伸时，点 $P$ 与渐近线 $l_1$ 的距离无限趋近于 0。
4. 恒成立转化：点 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 的下确界，即为直线 $l$ 与渐近线 $l_1$ 之间的距离。要使 $d>c$ 恒成立，需满足 $c\le d_{min}$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定渐近线 双曲线 $x^2-y^2=1$ 的渐近线方程为 $x-y=0$ 或 $x+y=0$。 设其中一条渐近线为 $l_1:x-y=0$。

第二步：分析直线关系 已知直线 $l:x-y+1=0$。 易知 $l\parallel l_1$。 由于双曲线的右支位于渐近线 $x-y=0$ 的下方（当 $x\to +\infty$ 时，$y=\sqrt{x^2-1}<x$），而直线 $l$ 位于渐近线 $x-y=0$ 的上方。 因此，右支上的点 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 总是大于 $P$ 到渐近线 $l_1$ 的距离。

第三步：寻找距离下界 当点 $P(x,y)$ 在右支上向无穷远处运动时，点 $P$ 到渐近线 $l_1$ 的距离趋于 0。 此时，点 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 趋于直线 $l$ 与渐近线 $l_1$ 之间的距离 $D$。 计算两条平行线 $x-y+1=0$ 与 $x-y=0$ 之间的距离： $D=\frac{|1-0|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

第四步：得出结论 因为 $d>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 恒成立，所以要使 $d>c$ 恒成立，只需 $c\le \frac{\sqrt{2}}{2}$。 故实数 $c$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双曲线上的点到渐近线的距离无限趋近于 0。
• 核心方法：几何转化法。本题若设点坐标用参数方程或代数法求导，计算极其复杂。识别出“直线平行于渐近线”这一几何特征是破题的关键。
• 避坑指南：注意直线 $l$ 与双曲线的位置关系。如果直线穿过双曲线，距离最小值为 0；本题中直线在渐近线之外，故存在非零下界。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若直线平行于双曲线的渐近线且与双曲线无交点，则双曲线上的点到该直线的距离取值范围是一个开区间，边界值由平行线间距离决定。 *方法推广: 处理恒成立问题中的“最大值”，本质是求目标表达式的最小值（或下确界）。

• 相关知识点：等轴双曲线的性质、平行线间的距离公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 20.19 恒成立问题——转化为最值法

类题演练(Links)

• 2013年江苏卷-12
• 2012-江苏卷-12
• 2020-江苏卷-12 填-基本不等式