2020-江苏卷-12 填-基本不等式

本题导读

本题考查基本不等式，以及消元法。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）12. 已知 $5x^2{y}^2+y^4=1$ ($x,y\in \mathbb{R}$)，则 $x^2+y^2$ 的最小值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察约束条件： 方程为 $5x^2{y}^2+y^4=1$。 注意到 $y\ne 0$（若 $y=0$，则 $0=1$ 矛盾）。 我们可以将 $x^2$ 用 $y$ 的表达式表示出来，实现“消元”。

2. 目标式变形： 将 $x^2=\frac{1-y^4}{5y^2}$ 代入目标式 $x^2+y^2$。 得到一个关于 $y^2$ 的函数。

3. 运用基本不等式： 整理后的式子呈现 $A\cdot \frac{1}{y^2}+B\cdot y^2$ 的结构。 利用 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$，当积为定值时求和的最小值。

✅【答案】

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$\frac{4}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{4}{5}$

【解析过程】

1. 消元处理： 由 $5x^2{y}^2+y^4=1$ 得 $5x^2{y}^2=1-y^4$。 因为 $y^4\le 1$ 且 $y\ne 0$，所以 $x^2=\frac{1-y^4}{5y^2}$。

2. 代入目标式： $x^2+y^2=\frac{1-y^4}{5y^2}+y^2$ 将分式拆解： $x^2+y^2=\frac{1}{5y^2}-\frac{y^4}{5y^2}+y^2$ $x^2+y^2=\frac{1}{5y^2}-\frac{y^2}{5}+y^2$ 合并同类项（$y^2$ 项）： $x^2+y^2=\frac{1}{5y^2}+\frac{4y^2}{5}$

3. 使用基本不等式： 因为 $x^2\ge 0$，所以 $1-y^4\ge 0⟹y^2\le 1$。 由于 $\frac{1}{5y^2}>0$ 且 $\frac{4y^2}{5}>0$，根据均值不等式： $x^2+y^2=\frac{1}{5y^2}+\frac{4y^2}{5}\ge 2\sqrt{\frac{1}{5y^2}\cdot \frac{4y^2}{5}}=2\sqrt{\frac{4}{25}}=2\times \frac{2}{5}=\frac{4}{5}$。

4. 验证等号成立条件： 当且仅当 $\frac{1}{5y^2}=\frac{4y^2}{5}$ 时，即 $4y^4=1⟹y^2=\frac{1}{2}$。 此时 $y^2=\frac{1}{2}\le 1$ 成立。 对应的 $x^2=\frac{1-(1/2{)}^2}{5(1/2)}=\frac{3/4}{5/2}=\frac{3}{10}\ge 0$ 成立。 因此，最小值为 $\frac{4}{5}$。

故答案为：$\frac{4}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 消元策略： 在二元最值问题中，如果能将其中一个变量（或其平方）孤立出来并代入目标式，通常能化归为一元函数问题。
• “一正二定三相等”： * 正： $y^2$ 显然为正。
  • 定： 通过拆分项，使得两项相乘时 $y^2$ 约掉，产生定值 $4/25$。
  • 相等： 必须检查使不等式取等的 $y^2$ 是否在定义域内（本题中需满足 $x^2\ge 0⟹y^2\le 1$）。
• 易错点： 拆分项时符号出错，或者在求导/不等式运算时出现计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果目标式改为求 $x^2+2y^2$ 的最小值，方法是一样的： $x^2+2y^2=\frac{1}{5y^2}-\frac{y^2}{5}+2y^2=\frac{1}{5y^2}+\frac{9y^2}{5}\ge 2\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{6}{5}$。 这类题目只要掌握了“代换-拆分-均值”的套路，基本都能迎刃而解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-09 单-对勾函数最值
• 2013-湖南卷文-20 解-椭圆圆弦长最值
• 2013-福建卷文-07 单-指数和取值范围