2015-江苏卷-14 填-向量坐标

本题导读

本题是填空题的压轴题。考查向量数量积的坐标运算与复杂的三角恒等变换。核心难点在于利用两角差的余弦公式简化项，并利用三角函数在一个完整周期内求和为零的性质快速得出结果。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） 设向量 ${\mathbf{a}}_k=\left(\cos \frac{k\pi }{6},\sin \frac{k\pi }{6}+\cos \frac{k\pi }{6}\right)$ ($k=0,1,2,\dots ,12$)，则 ${\sum }_{k=0}^{11}({\mathbf{a}}_k\cdot {\mathbf{a}}_{k+1})$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开数量积：利用向量数量积的坐标公式 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 展开单项 ${\mathbf{a}}_k\cdot {\mathbf{a}}_{k+1}$。
2. 三角恒等变换：
   • 观察展开式，利用两角差的余弦公式 $\cos A\cos B+\sin A\sin B=\cos (A-B)$ 合并项。
   • 利用辅助角公式或积化和差公式处理剩余项。
3. 求和化简：
   • 将变换后的通项代入求和符号 $\sum$。
   • 利用正弦函数和余弦函数在完整周期（如 $2\pi$）内离散取值求和为 0 的性质（对称性）消除动态项。
4. 计算常数项：提取出与 $k$ 无关的常数项进行累加得到最终值。

✅【答案】

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$9\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：展开并化简 ${\mathbf{a}}_k\cdot {\mathbf{a}}_{k+1}$ 设 ${\theta }_k=\frac{k\pi }{6}$，则 ${\theta }_{k+1}=\frac{(k+1)\pi }{6}$。 ${\mathbf{a}}_k\cdot {\mathbf{a}}_{k+1}=\cos {\theta }_k\cos {\theta }_{k+1}+(\sin {\theta }_k+\cos {\theta }_k)(\sin {\theta }_{k+1}+\cos {\theta }_{k+1})$ $=\cos {\theta }_k\cos {\theta }_{k+1}+\sin {\theta }_k\sin {\theta }_{k+1}+\cos {\theta }_k\cos {\theta }_{k+1}+\sin {\theta }_k\cos {\theta }_{k+1}+\cos {\theta }_k\sin {\theta }_{k+1}$ $=(\cos {\theta }_k\cos {\theta }_{k+1}+\sin {\theta }_k\sin {\theta }_{k+1})+\cos {\theta }_k\cos {\theta }_{k+1}+(\sin {\theta }_k\cos {\theta }_{k+1}+\cos {\theta }_k\sin {\theta }_{k+1})$ $=\cos ({\theta }_{k+1}-{\theta }_k)+\cos {\theta }_k\cos {\theta }_{k+1}+\sin ({\theta }_{k+1}+{\theta }_k)$

第二步：代入具体角度并进一步化简 由于 ${\theta }_{k+1}-{\theta }_k=\frac{\pi }{6}$，则 $\cos ({\theta }_{k+1}-{\theta }_k)=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 利用积化和差公式 $\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos (A+B)+\cos (A-B)]$： $\cos {\theta }_k\cos {\theta }_{k+1}=\frac{1}{2}[\cos (\frac{(2k+1)\pi }{6})+\cos \frac{\pi }{6}]=\frac{1}{2}\cos \frac{(2k+1)\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}$。 代回原式： ${\mathbf{a}}_k\cdot {\mathbf{a}}_{k+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}\cos \frac{(2k+1)\pi }{6}+\sin \frac{(2k+1)\pi }{6}=\frac{3\sqrt{3}}{4}+\sin \frac{(2k+1)\pi }{6}+\frac{1}{2}\cos \frac{(2k+1)\pi }{6}$。

第三步：利用对称性求和 目标式为 ${\sum }_{k=0}^{11}\left[\frac{3\sqrt{3}}{4}+\sin \frac{(2k+1)\pi }{6}+\frac{1}{2}\cos \frac{(2k+1)\pi }{6}\right]$。 注意到 $f(k)=\sin \frac{(2k+1)\pi }{6}$ 和 $g(k)=\cos \frac{(2k+1)\pi }{6}$ 的周期均为 $k=6$。 在一个完整周期 $k\in [0,11]$ 内，这些三角函数值的累加和为 0： ${\sum }_{k=0}^{11}\sin \frac{(2k+1)\pi }{6}=0$，${\sum }_{k=0}^{11}\cos \frac{(2k+1)\pi }{6}=0$。 （注：这是因为这些点在单位圆上均匀分布，其横纵坐标之和均为 0）

第四步：计算最终结果 原式 $={\sum }_{k=0}^{11}\frac{3\sqrt{3}}{4}+0+0=12\times \frac{3\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$。

答案：$9\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量坐标运算法则；两角和差公式与积化和差公式；三角函数离散求和的周期性。
• 核心方法：周期求和法。在求和式中看到三角函数项，且求和范围正好覆盖一个或多个完整周期时，直接判定其和为 0 可大幅提速。
• 避坑指南：展开项较多，容易在符号（尤其是 $\sin$ 和 $\cos$ 的组合项）上出错。建议先合并同类项，再代入具体数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于 ${\sum }_{k=0}^{n-1}\sin (\alpha +\frac{2k\pi }{n})=0$，只要点在圆上等分分布，其向量和为零向量。 *方法推广: 遇到类似向量序列求和问题，若通项具有旋转对称性，考虑向复数（单位根）或单位圆模型转化。

• 相关知识点：数量积的几何意义、辅助角公式、单位圆性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2016-高考江苏卷-14
• 2013年江苏卷-14
• 2006-江苏卷-14