2015-江苏卷-13 填-函数零点

本题导读

本题是典型的函数与方程综合压轴题。考查绝对值方程的根与函数图象交点的转化，重点在于分段函数图象的准确绘制以及数形结合判定交点个数。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） 已知函数 $f(x)=|\ln x|$，$g(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0<x\le 1\\ |x^2-4|-2,& x>1\end{array}$，则方程 $|f(x)+g(x)|=1$ 实根的个数为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 去绝对值转化：方程 $|f(x)+g(x)|=1$ 可转化为两个方程：$f(x)+g(x)=1$ 或 $f(x)+g(x)=-1$。
2. 函数图象化：进一步转化为 $f(x)=1-g(x)$ 和 $f(x)=-1-g(x)$。通过求 $y=f(x)$ 与两条动曲线 $y=1-g(x)$ 及 $y=-1-g(x)$ 的交点总数来确定实根个数。
3. 分段讨论与作图：
   • 当 $0<x\le 1$ 时，$g(x)=0$，$f(x)=1$ 或 $f(x)=-1$（舍去，因为 $f(x)\ge 0$）。
   • 当 $x>1$ 时，$g(x)=|x^2-4|-2$，需分别绘制 $y=f(x)$ 与翻转平移后的二次函数图象。
4. 数形结合判定：通过关键点（如 $x=1,x=2$ 等）的函数值判断曲线的上下位置关系，确定交点个数。

✅【答案】

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4

✍【详细解析】

Abstract

第一步：方程等价转化 方程 $|f(x)+g(x)|=1$ 等价于： ① $f(x)=1-g(x)$ 或 ② $f(x)=-1-g(x)$。

第二步：分段讨论交点情况 情况 1：当 $0<x\le 1$ 时 $g(x)=0$。 方程 ① 为 $f(x)=1⟹|\ln x|=1⟹x=\frac{1}{e}$（1个根）。 方程 ② 为 $f(x)=-1$，由于 $f(x)\ge 0$，此方程无解。 故在 $(0,1]$ 上共有 1个 实根。

情况 2：当 $x>1$ 时 此时 $f(x)=\ln x$（因为 $x>1$）。 $g(x)=|x^2-4|-2=\{\begin{array}{ll}2-x^2,& 1<x\le 2\\ x^2-6,& x>2\end{array}$。

• 分析方程 ①：$\ln x=1-g(x)$ 即 $\ln x=\{\begin{array}{ll}{x}^2-1,& 1<x\le 2\\ 7-x^2,& x>2\end{array}$
  • 当 $1<x\le 2$ 时，$y=\ln x$ 与 $y=x^2-1$ 在 $x=1$ 处都为 0，且 $(x^2-1{)}^{\prime }>(\ln x{)}^{\prime }$，故在 $(1,2]$ 上无交点。
  • 当 $x>2$ 时，$y=\ln x$ 递增，$y=7-x^2$ 递减。在 $x=2$ 时，$\ln 2<3$；当 $x$ 增大时，$7-x^2$ 迅速减小，必有 1个 交点。
• 分析方程 ②：$\ln x=-1-g(x)$ 即 $\ln x=\{\begin{array}{ll}{x}^2-3,& 1<x\le 2\\ 5-x^2,& x>2\end{array}$
  • 当 $1<x\le 2$ 时，$y=\ln x$ 递增，$y=x^2-3$ 递增。在 $x=1$ 时，$\ln 1=0>1^2-3=-2$；在 $x=2$ 时，$\ln 2<2^2-3=1$。由连续性知，在 $(1,2]$ 内必有 1个 交点。
  • 当 $x>2$ 时，$y=\ln x$ 递增，$y=5-x^2$ 递减。在 $x=2$ 时，$\ln 2<5-2^2=1$；当 $x$ 变大时，$5-x^2$ 变为负数，必有 1个 交点。

第三步：汇总实根个数 综上所述，实根个数为 $1(\text{在 }0<x\le 1)+1(\text{方程(1)在 }x>1)+2(\text{方程(2)在 }x>1)=4$ 个。

答案：4

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：绝对值性质的拆解；分段函数图象的绘制；对数函数与二次函数增长速度的比较。
• 核心方法：数形结合法。对于根的个数问题，直接求解通常不可能（超越方程），利用函数图象的变化趋势和关键点取值是标准方案。
• 避坑指南：在 $x>1$ 时，$f(x)$ 内部的对数绝对值可以去掉，但 $g(x)$ 的绝对值需根据 $x^2-4$ 的正负号分段讨论，且不要漏掉 $g(x)$ 表达式中最后的常数项。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 涉及 $f(x)=g(x)$ 根的个数，若两函数单调性相反，则至多有一个交点。 *方法推广: 解决超越方程根的问题，常构造辅助函数 $h(x)=f(x)-g(x)$，通过导数研究其极值和零点。

• 相关知识点：零点存在性定理、对数换底公式、二次函数对称性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2014-江苏卷-13 填-周期性
• 2020-江苏卷-10 填-函数周期性
• 2015-江苏卷-14 填-向量坐标