2015-江苏卷-20 解-数列通项

本题导读

本题是 2015 年江苏高考数学卷的压轴大题。题目以等差数列为基础，通过构造新的幂次序列，深入探讨其是否能构成等比数列。第一问为基础证明，第二问和第三问则是存在性探究，需要高超的代数变形技巧（如取对数换元）以及利用多次导数研究复杂函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） 设 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 是各项为正数且公差为 $d(d\ne 0)$ 的等差数列.

(1) 证明：$2^{a_1},2^{a_2},2^{a_3},2^{a_4}$ 依次成等比数列；

(2) 是否存在 $a_1,d$，使得 $a_1,a_2^2,a_3^3,a_4^4$ 依次成等比数列，并说明理由；

(3) 是否存在 $a_1,d$ 及正整数 $n,k$，使得 $a_1^n,a_2^{n+k},a_3^{n+2k},a_4^{n+3k}$ 依次成等比数列，并说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（基础判定）：直接利用等比数列定义，验证相邻项的比值是否为常数。
2. 第二问（存在性探究）：
   • 根据等比中项性质列出关于 $a_1,d$ 的方程组。
   • 换元降维：令 $t=\frac{d}{a_1}$，将二元问题转化为一元方程。
   • 方程求解：联立方程消元得到关于 $t$ 的高次方程，验证是否有实数解。
3. 第三问（深度探究）：
   • 对数转化：利用等比性质列式后，两边取对数将指数位置的变量转化为系数。
   • 构造函数：通过消元得到一个只含有 $t=\frac{d}{a_1}$ 的复杂对数函数等式。
   • 导数工具：利用多次求导（二阶或三阶导数）来证明构造的函数在定义域内仅有唯一零点 $t=0$，从而否定 $d\ne 0$ 的存在性。

✅【答案】

点击查看答案

所以不存在满足条件的 $a_1,d,n,k$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $\{a_n\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，所以 $a_{n+1}-a_n=d$。 考察相邻项的比值： $\frac{2^{a_{n+1}}}{2^{a_n}}=2^{a_{n+1}-a_n}=2^d(n=1,2,3)$ 由于 $d$ 为常数，故 $2^d$ 也是常数。 所以 $2^{a_1},2^{a_2},2^{a_3},2^{a_4}$ 依次构成等比数列。

(2) 答：不存在 假设存在 $a_1,d$ 满足题意。由等比中项性质有： $(a_2^2{)}^2=a_1\cdot a_3^3$ 且 $(a_3^3{)}^2=a_2^2\cdot a_4^4$。 即 $a_2^4=a_1{a}_3^3$ ①，且 $a_3^6=a_2^2{a}_4^4$ ②。 令 $t=\frac{d}{a_1}(t\ne 0)$，则 $a_2=a_1(1+t),a_3=a_1(1+2t),a_4=a_1(1+3t)$。 代入 ① 得：$a_1^4(1+t{)}^4=a_1\cdot a_1^3(1+2t{)}^3⟹(1+t{)}^4=(1+2t{)}^3$。 化简得：$8t^3+12t^2+6t+1=t^4+4t^3+6t^2+4t+1⟹t^4-4t^3-6t^2-2t=0$。 因 $t\ne 0$，得 $t^3-4t^2-6t-2=0$ () 同理代入 ② 得：$(1+2t{)}^6=(1+t{)}^2(1+3t{)}^4$。 由 ① 知 $(1+2t{)}^3=(1+t{)}^4$，平方得 $(1+2t{)}^6=(1+t{)}^8$。 代入 ② 的变形：$(1+t{)}^8=(1+t{)}^2(1+3t{)}^4⟹(1+t{)}^6=(1+3t{)}^4$。 开方得 $(1+t{)}^3=(1+3t{)}^2$ 或 $(1+t{)}^3=-(1+3t{)}^2$（舍去）。 即 $t^3+3t^2+3t+1=9t^2+6t+1⟹t^3-6t^2-3t=0⟹t^2-6t-3=0$。 将 $t^2=6t+3$ 代入 () 式：$t(6t+3)-4(6t+3)-6t-2=0⟹6t^2+3t-24t-12-6t-2=0$。 $6(6t+3)-27t-14=0⟹36t+18-27t-14=0⟹9t=-4⟹t=-\frac{4}{9}$。 经检验 $t=-\frac{4}{9}$ 不是 $t^2-6t-3=0$ 的根，矛盾。 故不存在满足条件的 $a_1,d$。

(3) 答：不存在 假设存在。同理列式并令 $t=\frac{d}{a_1}(t>-\frac{1}{3},t\ne 0)$，取对数得： $2(n+k)\ln (1+t)=n\ln 1+(n+2k)\ln (1+2t)$ $2(n+2k)\ln (1+2t)=(n+k)\ln (1+t)+(n+3k)\ln (1+3t)$ 消去 $n,k$ 后构造函数 $g(t)=4\ln (1+3t)\ln (1+t)-\ln (1+3t)\ln (1+2t)-3\ln (1+2t)\ln (1+t)$。 通过对其求一、二、三阶导数： 可以证明 $g^{\prime }(t)=0$ 当且仅当 $t=0$。 由于 $g(0)=0$ 且函数在 $(0,+\infty )$ 和 $(-\frac{1}{3},0)$ 上单调， 故 $g(t)=0$ 的唯一解为 $t=0$，这与 $d\ne 0$ 矛盾。 所以不存在满足条件的 $a_1,d,n,k$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：数列性质与复杂函数的综合运用。
• 核心方法：换元消元法与导数判定法。压轴题往往需要将数列的离散问题转化为函数的连续问题。
• 避坑指南：在第三问中，直接代数变形几乎无法求解，必须想到利用“取对数”将指数幂转化为乘积形式，再利用导数工具分析。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若等差数列项的幂次也呈等差增长，且构成等比数列，则公差必为 0。

• 相关知识点：对数平均值不等式、高阶导数的凸性应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2019-江苏卷-20 解-等比数列
• 2018-江苏卷-20 解-数列通项
• 2012-江苏卷-20