2018-江苏卷-20 解-数列通项

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的通项公式。核心在于参变分离法、作差法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）设 $\{a_n\}$ 是首项为 $a_1$，公差为 $d$ 的等差数列，$\{b_n\}$ 是首项为 $b_1$，公比为 $q$ 的等比数列.

(1) 设 $a_1=0,b_1=1,q=2$，若 $|a_n-b_n|\le b_1$ 对 $n=1,2,3,4$ 均成立，求 $d$ 的取值范围；

(2) 若 $a_1=b_1>0,m\in {\mathbb{N}}^{\ast },q\in (1,\sqrt[m]{2}]$，证明：存在 $d\in \mathbb{R}$，使得 $|a_n-b_n|\le b_1$ 对 $n=2,3,\cdots ,m+1$ 均成立，并求 $d$ 的取值范围（用 $b_1,m,q$ 表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（具体化探路）：

• 代入已知数值，写出两个数列的通项公式：$a_n=(n-1)d$，$b_n=2^{n-1}$。
• 将 $n=1,2,3,4$ 逐一横向代入不等式 $|a_n-b_n|\le 1$。
• 得到 4 个关于 $d$ 的一次绝对值不等式，解出各段区间，求交集即可。这属于白给的送分项。

2. 第二问（抽象化论证 - 核心）：

• 列式与参变分离：写出一般形式的通项，代入不等式，利用绝对值的性质将其展开为双侧不等式。通过移项和除法，将参数 $d$ 孤立在中间，得到结构如 $L_n\le d\le U_n$ 的不等式链。
• 转化为最值问题：要使 $d$ 在一段 $n$ 的取值内恒存在，只需要保证左边数列的最大值 $\le d\le$ 右边数列的最小值，并且需证明该区间有意义（即最大值不大于最小值）。
• 判断左侧 $L_n$ 的单调性（作差法）：带有加减项，计算 $L_{n+1}-L_n$。通过放缩证明差值始终大于 0，说明左侧数列递增，最大值在最后一项 $n=m+1$ 处取得。
• 判断右侧 $U_n$ 的单调性（作商法与构造函数）：全是乘除结构，计算 $U_{n+1}/U_n$。这里的难点在于判断比值与 1 的大小关系。巧妙地构造连续函数 $f(x)=2^x(1-x)$ 并利用导数求其最大值，实现“降维打击”，证明数列递减，最小值在 $n=m+1$ 处取得。
• 整合结论：写出 $d$ 的最终取值范围。

✅【答案】

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(1) $d\in [\frac{7}{3},\frac{5}{2}]$

(2) 存在，$d\in [\frac{b_1(q^m-2)}{m},\frac{b_1{q}^m}{m}]$

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 由已知条件得数列通项为：$a_n=(n-1)d$，$b_n=2^{n-1}$。 因为 $|a_n-b_n|\le b_1$ 对 $n=1,2,3,4$ 均成立， 即 $|(n-1)d-2^{n-1}|\le 1$ 对 $n=1,2,3,4$ 均成立。 分别代入 $n$ 的值：

• 当 $n=1$ 时：$|0-1|\le 1⟹1\le 1$（恒成立）。
• 当 $n=2$ 时：$|d-2|\le 1⟹-1\le d-2\le 1⟹1\le d\le 3$。
• 当 $n=3$ 时：$|2d-4|\le 1⟹-1\le 2d-4\le 1⟹\frac{3}{2}\le d\le \frac{5}{2}$。
• 当 $n=4$ 时：$|3d-8|\le 1⟹-1\le 3d-8\le 1⟹\frac{7}{3}\le d\le 3$。 取上述三个区间的交集：$[1,3]\cap [\frac{3}{2},\frac{5}{2}]\cap [\frac{7}{3},3]$。 显然下界最大值为 $\frac{7}{3}$，上界最小值为 $\frac{5}{2}$。 因此，$d$ 的取值范围为 $\left[\frac{7}{3},\frac{5}{2}\right]$。

(2)证明及求解： 由已知条件得数列通项为：$a_n=b_1+(n-1)d$，$b_n=b_1{q}^{n-1}$。 若存在 $d$，使得 $|a_n-b_n|\le b_1$ 对 $n=2,3,\cdots ,m+1$ 成立， 即 $\left|b_1+(n-1)d-b_1{q}^{n-1}\right|\le b_1$。 因为 $b_1>0$，两边同除以 $b_1$ 并去掉绝对值号得： $-1\le 1+\frac{(n-1)d}{b_1}-q^{n-1}\le 1$ 整体移项： $q^{n-1}-2\le \frac{(n-1)d}{b_1}\le q^{n-1}$ 因为 $n\ge 2$，所以 $n-1>0$。两边同除以 $\frac{n-1}{b_1}$，得到参数 $d$ 的分离形式： $\frac{q^{n-1}-2}{n-1}{b}_1\le d\le \frac{q^{n-1}}{n-1}{b}_1(n=2,3,\cdots ,m+1)$

因为 $q\in (1,\sqrt[m]{2}]$，所以 $1<q\le 2^{\frac{1}{m}}$。 对于给定的 $n\le m+1$，有 $n-1\le m$，因此： $1<q^{n-1}\le q^m\le {\left(2^{\frac{1}{m}}\right)}^m=2$ 从而，不等式左侧 $\frac{q^{n-1}-2}{n-1}{b}_1\le 0$，不等式右侧 $\frac{q^{n-1}}{n-1}{b}_1>0$ 对所有考虑的 $n$ 均成立。 这就意味着，区间必定存在（至少 $d=0$ 始终在区间内），即绝对值不等式恒成立的情况是存在的。

下面求参数 $d$ 的准确范围，即分别求左侧数列 $\left\{\frac{q^{n-1}-2}{n-1}\right\}$ 的最大值和右侧数列 $\left\{\frac{q^{n-1}}{n-1}\right\}$ 的最小值。

① 探究左侧数列的单调性（作差法）： 当 $2\le n\le m$ 时， $\frac{q^n-2}{n}-\frac{q^{n-1}-2}{n-1}=\frac{(n-1)(q^n-2)-n(q^{n-1}-2)}{n(n-1)}$ $=\frac{n{q}^n-q^n-2n+2-n{q}^{n-1}+2n}{n(n-1)}$ $=\frac{n(q^n-q^{n-1})-q^n+2}{n(n-1)}$ 因为 $1<q\le 2^{\frac{1}{m}}$，有 $q^n\le q^m\le 2$，所以 $-q^n+2\ge 0$。 又因为 $q>1$，所以 $q^n-q^{n-1}>0$。 因此分子 $n(q^n-q^{n-1})-q^n+2>0$。 所以当 $n\in [2,m+1]$ 时，该数列单调递增。 故其最大值在最后一项 $n=m+1$ 处取得，最大值为 $\frac{q^m-2}{m}$。

② 探究右侧数列的单调性（作商法与构造函数）： 设 $f(x)=2^x(1-x)$，对于 $x>0$，求导： $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2\cdot (1-x)-2^x=2^x(\ln 2-x\ln 2-1)$ 因为 $\ln 2<1$ 且 $x>0$，所以 $\ln 2-x\ln 2-1<0$ 恒成立。 所以 $f^{\prime }(x)<0$，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。 因此 $f(x)<f(0)=2^0(1-0)=1$。

当 $2\le n\le m$ 时，作商比较： $\frac{\frac{q^n}{n}}{\frac{q^{n-1}}{n-1}}=\frac{q(n-1)}{n}=q\left(1-\frac{1}{n}\right)$ 因为 $q\le 2^{\frac{1}{m}}$，且由 $n\le m$ 知 $\frac{1}{m}\le \frac{1}{n}$，所以 $q\le 2^{\frac{1}{n}}$。 代入放缩： $q\left(1-\frac{1}{n}\right)\le 2^{\frac{1}{n}}\left(1-\frac{1}{n}\right)=f\left(\frac{1}{n}\right)$ 由前面的函数性质知 $f\left(\frac{1}{n}\right)<1$。 所以比值严格小于 1，说明该数列单调递减。 故其最小值在最后一项 $n=m+1$ 处取得，最小值为 $\frac{q^m}{m}$。

综上所述，$d$ 的取值范围由左侧的最大值和右侧的最小值决定： $d\in \left[\frac{b_1(q^m-2)}{m},\frac{b_1{q}^m}{m}\right]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 不等式恒成立的核心策略：参变分离。只要能把要求解的参数（如本题的 $d$）剥离出来，写成 $f(n)\le d\le g(n)$ 的形式，问题就转化为了求左侧 $f(n)$ 的最大值和右侧 $g(n)$ 的最小值。
2. 离散数列单调性的判断工具：

• 作差法 ($a_{n+1}-a_n$)：适用于含有加减项的数列（如本题左侧数列）。通分后往往需要利用已知范围进行放缩判断符号。
• 作商法 ($a_{n+1}/a_n$)：适用于全部为乘除、指数幂结构的数列（如本题右侧数列）。通过与 1 比较大小来判断增减。

3. 跨域构造函数降维打击：在判断 $\frac{U_{n+1}}{U_n}=q(1-\frac{1}{n})<1$ 时，由于存在指数项和分式混合，直接不等式推演极其困难。通过构造连续实变量函数 $f(x)=2^x(1-x)$ 并利用导数判断其严格小于 1，是本题最惊艳的一手操作，将复杂的代数变形化归为了导数单调性问题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2006-江西卷理-06 单-函数在闭区间上的最值
• 2006-全国卷II理-20 解-构造新函数法
• 2006-浙江卷理-19 解-导数工具在不等式恒成立问题中的应用