2015-江苏卷-21C 解-极坐标

本题导读

本题是江苏卷选做题中的坐标系与参数方程题。考查极坐标方程向直角坐标方程的转化，通过三角恒等变换展开极坐标方程，再利用转换公式求得圆的半径。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） （选修 4—4：坐标系与参数方程） 已知圆 $C$ 的极坐标方程为 ${\rho }^2+2\sqrt{2}\rho \sin (\theta -\frac{\pi }{4})-4=0$，求圆 $C$ 的半径.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开极坐标方程：利用两角差的正弦公式 $\sin (\theta -\frac{\pi }{4})=\sin \theta \cos \frac{\pi }{4}-\cos \theta \sin \frac{\pi }{4}$ 展开原方程。
2. 坐标互化：利用极坐标与直角坐标的转换公式：
   • $x=\rho \cos \theta$
   • $y=\rho \sin \theta$
   • $x^2+y^2={\rho }^2$
3. 整理方程：将互化后的直角坐标方程整理成圆的一般方程形式。
4. 配方求半径：通过配方法将方程化为标准形式 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，从而读出半径 $r$。

✅【答案】

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$\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：展开并化简极坐标方程 已知方程：${\rho }^2+2\sqrt{2}\rho \sin (\theta -\frac{\pi }{4})-4=0$。 利用公式展开： ${\rho }^2+2\sqrt{2}\rho \left(\sin \theta \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\cos \theta \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)-4=0$ ${\rho }^2+2\rho \sin \theta -2\rho \cos \theta -4=0$

第二步：化为直角坐标方程 将 ${\rho }^2=x^2+y^2$，$\rho \sin \theta =y$，$\rho \cos \theta =x$ 代入上式： $x^2+y^2+2y-2x-4=0$ 整理得： $x^2-2x+y^2+2y-4=0$

第三步：配方求半径 $(x^2-2x+1)+(y^2+2y+1)=4+1+1$ $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=6$ 对照圆的标准方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，可知： $r^2=6⟹r=\sqrt{6}$ 所以圆 $C$ 的半径为 $\sqrt{6}$。

答案：$\sqrt{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：极坐标与直角坐标的互化公式；圆的标准方程。
• 核心方法：公式法。熟练掌握 $x^2+y^2={\rho }^2$ 和 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 是解决此类题目的唯一钥匙。
• 避坑指南：展开 $\sin (\theta -\frac{\pi }{4})$ 时注意符号。在配方阶段，等式右侧要记得同步加上配方所用的常数，避免半径计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 极坐标方程 $\rho =2a\cos \theta +2b\sin \theta$ 代表的是经过极点、圆心在 $(a,b)$ 的圆。 *方法推广: 对于不含 ${\rho }^2$ 的方程，有时两边同乘 $\rho$ 可以更方便地进行坐标互化。

• 相关知识点：直线的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 23.07 几何分布

类题演练(Links)

• 2013年江苏卷-21
• 2012-江苏卷-21
• 2011-江苏卷-21 解-几何证明选讲