2015-江苏卷-21D 解-绝对值不等式

本题导读

本题是江苏卷选做题中的不等式选讲题。主要考查含绝对值不等式的基本解法，核心在于通过讨论绝对值内部代数式的正负号来去掉绝对值符号。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） （选修 4—5：不等式选讲） 解不等式 $x+|2x+3|\ge 3$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找零点：令绝对值内部代数式 $2x+3=0$，解得 $x=-\frac{3}{2}$。这个点将数轴分为两个区间。
2. 分类讨论：
   • 当 $x<-\frac{3}{2}$ 时，$2x+3<0$，绝对值去掉后需变号，即 $|2x+3|=-(2x+3)$。
   • 当 $x\ge -\frac{3}{2}$ 时，$2x+3\ge 0$，绝对值可直接去掉，即 $|2x+3|=2x+3$。
3. 分段求解：在每个区间内分别求解得到的不等式，并取解集与区间范围的交集。
4. 汇总结果：将各段得到的解集取并集，写成最终解集形式。

✅【答案】

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$\{x|x\le -6\text{ 或 }x\ge 0\}$ （按题干数值计算）

✍【详细解析】

Abstract

原不等式为 $x+|2x+3|\ge 3$。

情况 1：当 $x<-\frac{3}{2}$ 时 原不等式化为： $x-(2x+3)\ge 3$ $x-2x-3\ge 3$ $-x\ge 6⟹x\le -6$ 由于 $x\le -6$ 包含在 $x<-\frac{3}{2}$ 内， 故此时解集为 $\{x|x\le -6\}$。 (注：解析图中给出的解析过程为 $-x-3\ge 2⟹x\le -5$，此处与原题干 $x+|2x+3|\ge 3$ 略有出入，以题干数值计算为准：$-x\ge 6⟹x\le -6$)

情况 2：当 $x\ge -\frac{3}{2}$ 时 原不等式化为： $x+(2x+3)\ge 3$ $3x+3\ge 3$ $3x\ge 0⟹x\ge 0$ 取交集得到 $x\ge 0$。 故此时解集为 $\{x|x\ge 0\}$。

汇总： 综上所述，原不等式的解集为 $\{x|x\le -6\text{ 或 }x\ge 0\}$。

(补充说明：若按照解析图示中最终答案反推，原题干可能为 $x+|2x+3|\ge 2$，则解得 $x\le -5$ 或 $x\ge -\frac{1}{3}$。录入时请务必核对原始卷面数值。)

答案：$\{x|x\le -6\text{ 或 }x\ge 0\}$ （按题干数值计算）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：绝对值的定义 $|f(x)|=\{\begin{array}{ll}f(x),& f(x)\ge 0\\ -f(x),& f(x)<0\end{array}$。
• 核心方法：分类讨论法（零点分段法）。这是处理含绝对值问题的通性通法。
• 避坑指南：分段求解后，一定要记得与**前提条件（即讨论范围）**取交集；最后各段结果要取并集。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于 $|f(x)|\ge g(x)$ 型不等式，也可以直接转化为 $f(x)\ge g(x)$ 或 $f(x)\le -g(x)$ 进行求解（仅当 $g(x)$ 满足特定条件或利用性质时）。 *方法推广: 几何法。将 $|2x+3|$ 看作数轴上点 $x$ 到 $-\frac{3}{2}$ 距离的两倍，结合图象观察最值。

• 相关知识点：绝对值三角不等式、分式不等式的解法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题

类题演练(Links)

• 2013年江苏卷-21
• 2012-江苏卷-21
• 2011-江苏卷-21 解-几何证明选讲