2020-江苏卷-22 解-空间向量

本题导读

本题考查空间直角坐标系的建立。核心在于空间向量坐标运算、法向量待定系数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）24. 在三棱锥 $A-BCD$ 中，已知 $CB=CD=\sqrt{5},BD=2$，$O$ 为 $BD$ 的中点，$AO\perp$ 平面 $BCD$，$AO=2$，$E$ 为 $AC$ 的中点。

（1）求直线 $AB$ 与 $DE$ 所成角的余弦值；

（2）若点 $F$ 在 $BC$ 上，满足 $BF=\frac{1}{4}BC$，设二面角 $F-DE-C$ 的大小为 $\theta$，求 $\sin \theta$ 的值。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：

• 基底选择：因为 $CB=CD$，且 $O$ 是 $BD$ 中点，所以 $CO\perp BD$。

• 已知 $AO\perp$ 平面 $BCD$，则 $AO$ 垂直于 $OB$ 和 $OC$。

• 以 $O$ 为原点，$OB,OC,OA$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。

2. 向量求线线角：

• 写出 $A,B,D,E$ 的坐标，计算向量 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{DE}$。

• 利用公式 $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DE}|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{DE}|}$。

3. 向量求二面角：

• 确定 $F$ 点坐标（利用定比分点公式）。

• 分别求出平面 $DEC$ 和平面 $DEF$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$。

• 计算法向量夹角的余弦值，最后转化为二面角的正弦值 $\sin \theta$。

✅【答案】

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$\overrightarrow{n_1}=(-2,1,1)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：

1. 坐标计算：

在 $Rt△COB$ 中，$OB=1,BC=\sqrt{5}$，则 $OC=\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2-1^2}=2$。

建立坐标系得：$O(0,0,0),A(0,0,2),B(1,0,0),C(0,2,0),D(-1,0,0)$。

因为 $E$ 是 $AC$ 中点，则 $E(0,1,1)$。

2. 计算向量：

$\overrightarrow{AB}=(1,0,-2)$，$\overrightarrow{DE}=(1,1,1)$。

3. 求角：

$\cos ⟨\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DE}⟩=\frac{1\cdot 1+0\cdot 1+(-2)\cdot 1}{\sqrt{1^2+0^2+(-2{)}^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{-1}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{15}}{15}$。

因为异面直线所成角为锐角，故余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{15}$。

（2）解：

1. 确定 F 点坐标：

$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{4}(-1,2,0)=(-\frac{1}{4},\frac{1}{2},0)$。

$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BF}=(1,0,0)+(-\frac{1}{4},\frac{1}{2},0)=(\frac{3}{4},\frac{1}{2},0)$。故 $F(\frac{3}{4},\frac{1}{2},0)$。

2. 求平面法向量：

• 平面 DEC： $\overrightarrow{DE}=(1,1,1),\overrightarrow{DC}=(1,2,0)$。设法向量 $\overrightarrow{n_1}=(x,y,z)$。

$\begin{cases} x+y+z=0 \\ x+2y=0 \end{cases} \implies \text{令 } y=1, \text{则 } x=-2, z=1$。故 $\vec{n_1}=(-2,1,1)$。

• 平面 DEF： $\overrightarrow{DE}=(1,1,1),\overrightarrow{DF}=(\frac{7}{4},\frac{1}{2},0)$。设法向量 $\overrightarrow{n_2}=(x_1,y_1,z_1)$。

$\begin{cases} x_1+y_1+z_1=0 \\ \frac{7}{4}x_1 + \frac{1}{2}y_1=0 \end{cases} \implies \text{令 } x_1=2, \text{则 } y_1=-7, z_1=5$。故 $\vec{n_2}=(2,-7,5)$。

3. 计算二面角：

$\cos ⟨\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}⟩=\frac{-4-7+5}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{78}}=\frac{-6}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{13}}=-\frac{1}{\sqrt{13}}$。

则 ${\cos }^2\theta =\frac{1}{13}$，所以 $\sin \theta =\sqrt{1-\frac{1}{13}}=\sqrt{\frac{12}{13}}=\frac{2\sqrt{39}}{13}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 垂直关系的转化： $AO\perp$ 平面 $BCD$ 是建系的基础。在附加题中，如果找不到现成的垂直关系，需要先通过几何证明（如勾股定理逆定理）来寻找。

• 计算量： 附加题 24 题的计算量主要集中在求解两个平面的法向量。建议在求得法向量后，反向代入原向量做内积校验。

• 正弦还是余弦： 向量法求得的是二面角的余弦值，而题目往往要求正弦值，注意转换公式 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 坐标数错： 尤其是在计算中点（如点 $E$）或定比分点（如点 $F$）时，坐标系的原点位置必须统一。

2. 法向量计算错误： 这是最常见的丢分点。解方程组时，建议取最简单的整数值。

3. 二面角的正负号： 如果题目要求的是二面角的余弦值，需要观察图形判断是锐角还是钝角。但本题要求正弦值，由于二面角 $\theta \in [0,\pi ]$，正弦值恒为正，直接计算即可。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2004-广东卷理-18 解-空间直角坐标系的建立

• 2005-湖北卷理-20 解-空间直角坐标系的建立

• 2006-天津卷理-19 解-二面角的向量求法