2015-浙江卷文-07 单-圆锥轨迹

本题导读

满足 $\angle PAB=30^{\circ }$ 的射线 $AP$ 绕 $AB$ 旋转成半顶角 $30^{\circ }$ 的圆锥面；轴与平面 $\alpha$ 成 $60^{\circ }>30^{\circ }$，截线为椭圆，选 C。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(文)） 如图，斜线段 $AB$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $60^{\circ }$，$B$ 为斜足，平面 $\alpha$ 上的动点 $P$ 满足 $\angle PAB=30^{\circ }$，则点 $P$ 的轨迹是 ()

A. 直线　　　　B. 抛物线　　　　C. 椭圆　　　　D. 双曲线的一支

🔍【思路分析】

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满足 $\angle PAB=30^{\circ }$ 的射线 $AP$ 绕 $AB$ 旋转成半顶角 $30^{\circ }$ 的圆锥面；轴与平面 $\alpha$ 成 $60^{\circ }>30^{\circ }$，截线为椭圆，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $\angle PAB=30^{\circ }$，直线 $AP$ 与定直线 $AB$ 所成的角恒为 $30^{\circ }$。当 $P$ 在空间中运动时，射线 $AP$ 绕 $AB$ 旋转形成一个以 $AB$ 为轴、半顶角为 $30^{\circ }$ 的圆锥面，而 $P$ 限制在平面 $\alpha$ 上，故 $P$ 的轨迹是圆锥面与平面 $\alpha$ 的交线。

圆锥的轴 $AB$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $60^{\circ }$，大于半顶角 $30^{\circ }$，即平面 $\alpha$ 与圆锥的每一条母线都相交（不过顶点 $A$），由圆锥曲线的定义，截线为椭圆。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥曲线的统一定义（平面截圆锥）；直线与平面所成的角

核心方法：“等角轨迹定圆锥面，轴角比半顶角定截线类型”

避坑指南：①$\angle PAB=30^{\circ }$ 是 $AP$ 与轴 $AB$ 的夹角，即圆锥的半顶角是 $30^{\circ }$ 而不是 $60^{\circ }$，两个角不要张冠李戴；②平面截圆锥得到的截线类型由”轴与平面的夹角”与”半顶角”的大小关系决定，不是由线面角直接读出。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：把圆锥曲线的定义回溯到”平面截圆锥”的原始形态，是定义类题目的高阶考法（doc 考点定位：圆锥曲线的定义；线面位置关系）。

结论推广：一般地，半顶角为 $\theta$ 的圆锥面被平面所截：平面与轴夹角 $>\theta$ 得椭圆，$=\theta$ 得抛物线，$<\theta$ 得双曲线（一支）。

方法推广：轨迹题先找”与定直线成定角”或”与定点定距”等几何母体，再看截体（平面）与母体的相对位置。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.08 一般曲线与方程

类题演练(Links)

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• 2015-浙江卷理-9
• 2014-浙江卷理-16 填-渐近线