2015-浙江卷文-10 填-等差等比

本题导读

$(a_{1} + 2 d)^{2} = (a_{1} + d) (a_{1} + 6 d)$ 化简得 $3 a_{1} d + 2 d^{2} = 0$ ，结合 $3 a_{1} + d = 1$ 解得 $a_{1} = \frac{2}{3}$ ， $d = - 1$ 。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(文)）已知 ${a_{n}}$ 是等差数列，公差 $d$ 不为零. 若 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{7}$ 成等比数列，且 $2 a_{1} + a_{2} = 1$ ，则 $a_{1} =$ ， $d =$ .

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$(a_{1} + 2 d)^{2} = (a_{1} + d) (a_{1} + 6 d)$ 化简得 $3 a_{1} d + 2 d^{2} = 0$ ，结合 $3 a_{1} + d = 1$ 解得 $a_{1} = \frac{2}{3}$ ， $d = - 1$ 。

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$a_{1} = \frac{2}{3}$ ， $d = - 1$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{7}$ 成等比数列，得 $a_{3}^{2} = a_{2} a_{7}$ ，即

$(a_{1} + 2 d)^{2} = (a_{1} + d) (a_{1} + 6 d)$ ，

展开整理得 $3 a_{1} d + 2 d^{2} = 0$ ，即 $d (3 a_{1} + 2 d) = 0$ 。因 $d \neq = 0$ ，故 $d = - \frac{3}{2} a_{1}$ 。

又 $2 a_{1} + a_{2} = 3 a_{1} + d = 1$ ，代入得 $3 a_{1} - \frac{3}{2} a_{1} = \frac{3}{2} a_{1} = 1$ ，解得 $a_{1} = \frac{2}{3}$ ， $d = - 1$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的通项；等比中项的性质

核心方法：“中项平方 = 首末之积”列方程，两个未知数两条方程

避坑指南：① $3 a_{1} d + 2 d^{2} = 0$ 有 $d = 0$ 与 $d = - \frac{3}{2} a_{1}$ 两个解，题目”公差不为零”正是用来舍去 $d = 0$ 的，别忘交代；② $2 a_{1} + a_{2} = 3 a_{1} + d$ 要先化成同一次齐式再代入。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差与等比嫁接的基础方程组题（doc 考点定位：等差数列的定义和通项公式；等比中项），文理卷均高频出现。

结论推广：一般地， $a_{m}$ ， $a_{n}$ ， $a_{p}$ 成等比 $\Rightarrow a_{n}^{2} = a_{m} a_{p}$ ，化为 $(a_{1} + (n - 1) d)^{2} = (a_{1} + (m - 1) d) (a_{1} + (p - 1) d)$ 后总能提出公因式 $d$ （或 $a_{1}$ ），留下的线性关系是解题捷径。

方法推广：等差等比综合题：统一用 $a_{1}$ 、 $d$ 表示各项，列二元方程组，注意非零/正项等约束的取舍。

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19.01 等差数列全总结

19.02 等比数列全总结

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