2013-江西卷理-03 单-等比中项

本题导读

本题考查等比数列，以及等比中项。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)）等比数列 $x, 3 x + 3, 6 x + 6, \dots$ 的第四项等于()

A. $- 24$ 　　　　　　　B. $0$ 　　　　　　　C. $12$ 　　　　　　　D. $24$

🔍【思路分析】

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利用等比中项性质：若 $a, b, c$ 成等比数列，则 $b^{2} = a c$ 。在本题中即 $(3 x + 3)^{2} = x (6 x + 6)$ 。

求解未知数 $x$ ：通过化简二次方程求出 $x$ 的值。

确定数列基本量：将 $x$ 代回原数列，求出首项 $a_{1}$ 和公比 $q$ 。

计算第四项：利用通项公式 $a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ 计算 $a_{4}$ 。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：列方程。已知 $x, 3 x + 3, 6 x + 6$ 成等比数列，根据等比中项性质： $(3 x + 3)^{2} = x (6 x + 6)$

第二步：解方程。 $9 (x + 1)^{2} = 6 x (x + 1)$ $9 (x^{2} + 2 x + 1) = 6 x^{2} + 6 x$ $9 x^{2} + 18 x + 9 = 6 x^{2} + 6 x$ $3 x^{2} + 12 x + 9 = 0$ $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ 解得 $x = - 1$ 或 $x = - 3$ 。

第三步：讨论并确定数列。

若 $x = - 1$ ，则数列为 $- 1, 0, 0, \dots$ 。由于等比数列的项不能为 $0$ （公比无意义），故 $x = - 1$ 舍去。

若 $x = - 3$ ，则：第一项 $a_{1} = - 3$ ；第二项 $a_{2} = 3 (- 3) + 3 = - 6$ ；第三项 $a_{3} = 6 (- 3) + 6 = - 12$ 。此时公比 $q = \frac{- 6}{- 3} = 2$ 。

第四步：计算第四项。 $a_{4} = a_{3} \cdot q = - 12 \times 2 = - 24$ （或使用公式 $a_{4} = a_{1} q^{3} = - 3 \times 2^{3} = - 24$ ）

故正确答案为：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比中项的定义 $b^{2} = a c$ 。 2. 易错点： - 忽略等比数列定义中“每一项都不为零”的限制。当算出 $x = - 1$ 时，必须验证项是否合法。 - 在解方程 $(3 x + 3)^{2} = x (6 x + 6)$ 时，若两边直接约去 $(x + 1)$ ，需要注明 $x \neq = - 1$ 。 3. 计算能力：此题对代数展开和因式分解有一定要求。

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列中项性质（ $2 b = a + c$ ）、等比数列前 $n$ 项和。

结论推广：若数列 $a_{n}$ 是等比数列，则其子数列 $a_{k}, a_{k + m}, a_{k + 2 m}$ 也成等比数列。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.02 等比数列全总结

19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

2015-广东卷文-13 填-等比中项

2013-新课标I卷文-06 单-等比数列前n项和

2015-浙江卷文-10 填-等差等比

∑ ( Math )

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2013-江西卷理-03 单-等比中项

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