2015-浙江卷文-14 填-绝对值最值

本题导读

圆内 $2x+y<4$、$x+3y<6$ 恒成立，原式 $=10-(3x+4y)$；$3x+4y\ge -5$，最大值 $15$。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(文)） 已知实数 $x$，$y$ 满足 $x^2+y^2\le 1$，则 $|2x+y-4|+|6-x-3y|$ 的最大值是 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

圆内 $2x+y<4$、$x+3y<6$ 恒成立，原式 $=10-(3x+4y)$；$3x+4y\ge -5$，最大值 $15$。

✅【答案】

点击查看答案

$15$

✍【详细解析】

Abstract

当 $x^2+y^2\le 1$ 时，$2x+y\le \sqrt{2^2+1^2}\cdot \sqrt{x^2+y^2}\le \sqrt{5}<4$，故 $2x+y-4<0$；

$x+3y\le \sqrt{1^2+3^2}\cdot \sqrt{x^2+y^2}\le \sqrt{10}<6$，故 $6-x-3y>0$。

于是原式 $=(4-2x-y)+(6-x-3y)=10-(3x+4y)$。

由柯西不等式，$3x+4y\ge -\sqrt{3^2+4^2}\cdot \sqrt{x^2+y^2}\ge -5$（当 $(x,y)=\left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$ 时取等），

故原式的最大值为 $10-(-5)=15$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值化简；柯西不等式（线性式在圆上的最值）

核心方法：“先证恒负/恒正去绝对值，再求线性式最值”

避坑指南：①去绝对值必须先论证符号在圆内恒定（用 $\sqrt{5}<4$、$\sqrt{10}<6$ 两个不等量），不能默认；②最值点 $\left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$ 恰在圆周上且满足 $x^2+y^2=1$，取等点要写出来。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“圆域上绝对值线性和的最值”是线性规划与圆的嫁接题（doc 考点定位：简单的线性规划），去绝对值后化为标准线性最值。

结论推广：一般地，$ax+by$ 在 $x^2+y^2\le r^2$ 上的取值范围是 $[-r\sqrt{a^2+b^2},r\sqrt{a^2+b^2}]$，最值点在 $\pm \frac{r}{\sqrt{a^2+b^2}}(a,b)$ 处。

方法推广：绝对值最值题：先用可行域的范围确定各绝对值内部符号，去绝对值后化为线性（或简单函数）最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练(Links)

• 2015-浙江卷理-14 填-线性规划
• 2010-浙江卷理-14
• 2016-浙江卷理-07