2015-浙江卷文-15 填-椭圆离心率

本题导读

由对称性解出 $Q\left(\frac{c(c^2-b^2)}{a^2},\frac{2b{c}^2}{a^2}\right)$，代入椭圆得 $4e^6+e^2-1=0$，即 $(2e^2-1)(2e^4+e^2+1)=0$，$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(文)） 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点 $F(c,0)$ 关于直线 $y=\frac{b}{c}x$ 的对称点 $Q$ 在椭圆上，则椭圆的离心率是 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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由对称性解出 $Q\left(\frac{c(c^2-b^2)}{a^2},\frac{2b{c}^2}{a^2}\right)$，代入椭圆得 $4e^6+e^2-1=0$，即 $(2e^2-1)(2e^4+e^2+1)=0$，$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $Q(x_0,y_0)$。由 $F$、$Q$ 关于直线 $l:y=\frac{b}{c}x$ 对称：

(1) $FQ\perp l$：$\frac{y_0}{x_0-c}\cdot \frac{b}{c}=-1$，即 $c{x}_0+b{y}_0=c^2$；

(2) $FQ$ 的中点 $\left(\frac{x_0+c}{2},\frac{y_0}{2}\right)$ 在 $l$ 上：$\frac{y_0}{2}=\frac{b}{c}\cdot \frac{x_0+c}{2}$，即 $-b{x}_0+c{y}_0=bc$。

两式联立（系数行列式 $c^2+b^2=a^2$）解得

$x_0=\frac{c(c^2-b^2)}{a^2}$，$y_0=\frac{2b{c}^2}{a^2}$。

代入椭圆方程 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$：

$\frac{c^2(c^2-b^2{)}^2}{a^6}+\frac{4c^4}{a^4}=1$。令 $t=e^2$，注意 $\frac{c^2-b^2}{a^2}=2t-1$，得

$t(2t-1{)}^2+4t^2=1$，即 $4t^3+t-1=0$，

分解为 $(2t-1)(2t^2+t+1)=0$。二次因式恒正，故 $t=\frac{1}{2}$，即 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

（此时 $b=c$，$Q=(0,b)$ 恰为椭圆短轴端点，可代回验证。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点关于直线的对称点；椭圆的离心率

核心方法：“垂直 + 中点”两条件列对称方程组，消参得离心率方程

避坑指南：①对称的两条件缺一不可：只写”中点在直线上”或只写”垂直”都定不出 $Q$；②得到的 $t$ 的三次方程要靠因式分解 $(2t-1)(2t^2+t+1)$ 求根，二次因式判别式为负须说明舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对称点落在圆锥曲线上求离心率，是椭圆填空的进阶形态（doc 考点定位：点关于直线对称；椭圆的离心率），把解析几何的对称操作与曲线方程串联。

结论推广：一般地，点 $(x_1,y_1)$ 关于直线 $y=kx$ 的对称点可由 $\{\begin{array}{l}k{y}_0=-(x_0-x_1),\\ y_0=k(x_0+x_1)\end{array}$ 求得；本题 $k=\frac{b}{c}$ 与椭圆参数天然耦合，是命题的巧妙处。

方法推广：解析几何中”对称”两件套：垂直（斜率乘积 $-1$）+ 中点在轴上；解出坐标后代入曲线得参数方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 16.05 对称性问题

类题演练(Links)

• 2016-浙江卷理-07
• 2016-浙江卷理-19
• 2015-浙江卷理-19 解-椭圆性质