2015-浙江卷理-19 解-椭圆性质

本题导读

本题是解析几何综合大题，考查点关于直线对称的性质。第一问通过中点在对称轴上及斜率关系确定参数 $m$ 范围；第二问通过构造三角形面积函数，结合基本不等式求解最值。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） (2015·浙江) 已知椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 上两个不同的点 $A,B$ 关于直线 $l:y=mx+\frac{1}{2}$ 对称.

(1) 求实数 $m$ 的取值范围；

(2) 求 $△AOB$ 面积的最大值（$O$ 为坐标原点）.

🔍【思路分析】

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1. 第一问思路：
   • 设直线方程：由于 $A,B$ 关于直线 $l$ 对称，直线 $AB$ 必与 $l$ 垂直，设直线 $AB$ 的方程为 $x=-my+n$。
   • 联立方程：将直线 $AB$ 与椭圆方程联立，利用韦达定理表示中点 $P(x_0,y_0)$。
   • 建立约束：利用中点 $P$ 在直线 $l$ 上建立 $n$ 与 $m$ 的关系。同时，由于 $A,B$ 是椭圆上不同的两点，判别式 $\Delta >0$ 必须成立，由此解出 $m$ 的范围。
2. 第二问思路：
   • 面积表达：直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $(n,0)$，利用割补法或面积公式 $S=\frac{1}{2}|n|\cdot |y_1-y_2|$ 表达面积。
   • 函数化简：将 $n$ 代换为 $m$ 的表达式，构造关于 $m^2$ 的函数。
   • 求最值：利用基本不等式（均值不等式）求解面积函数的最大值。

✅【答案】

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(1) $m\in (-\infty ,-\frac{\sqrt{6}}{3})\cup (\frac{\sqrt{6}}{3},+\infty )$

(2) 最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $m$ 的取值范围 设直线 $AB$ 的方程为 $x=-my+n$，代入椭圆方程 $x^2+2y^2=2$ 得： $(-my+n{)}^2+2y^2=2⟹(m^2+2)y^2-2mny+n^2-2=0$。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则由 $\Delta >0$ 得： $\Delta =4m^2{n}^2-4(m^2+2)(n^2-2)=8(m^2-n^2+2)>0⟹n^2<m^2+2$ ①。 设线段 $AB$ 的中点为 $P(x_0,y_0)$，则： $y_0=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{mn}{m^2+2}$，$x_0=-m{y}_0+n=\frac{2n}{m^2+2}$。 由于点 $P$ 在直线 $y=mx+\frac{1}{2}$ 上，代入得： $\frac{mn}{m^2+2}=m\cdot \frac{2n}{m^2+2}+\frac{1}{2}⟹n=-\frac{m^2+2}{2m}$。 代入 ① 式：$\frac{(m^2+2{)}^2}{4m^2}<m^2+2⟹\frac{m^2+2}{4m^2}<1$。 解得 $3m^2>2⟹m^2>\frac{2}{3}$。 所以 $m$ 的取值范围是 $(-\infty ,-\frac{\sqrt{6}}{3})\cup (\frac{\sqrt{6}}{3},+\infty )$。

(2) 求 $△AOB$ 面积的最大值 直线 $AB:x+my-n=0$ 与 $x$ 轴的交点坐标为 $(n,0)$。 $S_{△AOB}=\frac{1}{2}|n||y_1-y_2|=\frac{1}{2}|n|\cdot \frac{\sqrt{\Delta }}{m^2+2}=\frac{1}{2}|n|\cdot \frac{\sqrt{8(m^2-n^2+2)}}{m^2+2}$。 将 $n^2=\frac{(m^2+2{)}^2}{4m^2}$ 代入： $S_{△AOB}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{\frac{(m^2+2{)}^2}{4m^2}\cdot \frac{m^2-\frac{(m^2+2{)}^2}{4m^2}+2}{(m^2+2{)}^2}}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{\frac{4m^2(m^2+2)-(m^2+2{)}^2}{16m^4}}=\sqrt{\frac{(m^2+2)(3m^2-2)}{8m^4}}$。 令 $t=m^2$ ($t>\frac{2}{3}$)，则 $S^2=\frac{3t^2+4t-4}{8t^2}=\frac{1}{8}(3+\frac{4}{t}-\frac{4}{t^2})$。 设 $u=\frac{1}{t}$ ($0<u<\frac{3}{2}$)，则 $S^2=\frac{1}{8}(-4u^2+4u+3)=\frac{1}{8}[-4(u-\frac{1}{2}{)}^2+4]$。 当 $u=\frac{1}{2}$ 即 $m^2=2$ 时，$S^2$ 取得最大值 $\frac{1}{8}\cdot 4=\frac{1}{2}$。 此时 $S_{max}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案：(1) $m\in (-\infty ,-\frac{\sqrt{6}}{3})\cup (\frac{\sqrt{6}}{3},+\infty )$；(2) 最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：对称问题的转化。点 $A,B$ 关于直线 $l$ 对称 $⟺$ 直线 $AB\perp l$ 且线段 $AB$ 中点在 $l$ 上。
• 核心方法：换元法求最值。在复杂的代数式中，通过 $m^2\to t\to \frac{1}{t}$ 的连续换元，将目标函数转化为二次函数求最值。
• 避坑指南：第一问的判别式 $\Delta >0$ 往往是决定参数范围的关键，容易被忽略。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若点 $A,B$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上关于直线 $y=mx+k$ 对称，则 $m$ 必须满足 $|k|<\sqrt{a^2{m}^2+b^2}$ 的变形约束。 *方法推广: 求解 $△OAB$ 面积，当直线不过原点时，使用 $|x_{交}|\cdot |y_1-y_2|$ 往往比点到直线距离公式更简便。

• 相关知识点：点到直线距离公式、二次函数最值。

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