2015-浙江卷理-09 填-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线标准方程中几何量 $a,b,c$ 的识别与计算。核心意图是要求学生通过标准方程直接得出基本几何性质，包括焦距和渐近线方程。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） （2015•浙江）双曲线 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$ 的焦距是$\underline{}$，渐近线方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别基本量：将双曲线方程与标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 对照，确定 $a^2$ 和 $b^2$ 的值。
2. 计算半焦距 $c$：利用双曲线中参数的关系式 $c^2=a^2+b^2$ 求出 $c$。
3. 得出焦距：焦距等于 $2c$。
4. 求渐近线方程：焦点在 $x$ 轴上的双曲线，渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

✅【答案】

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$2\sqrt{3}$ ； $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定参数 $a,b$ 已知双曲线方程为 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$， 对比标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 可得： $a^2=2⟹a=\sqrt{2}$ $b^2=1⟹b=1$

第二步：计算焦距 根据双曲线性质： $c^2=a^2+b^2=2+1=3$ 所以半焦距 $c=\sqrt{3}$。 焦距 $2c=2\sqrt{3}$。

第三步：确定渐近线方程 由于焦点在 $x$ 轴上，渐近线方程为： $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$。

故答案为：$2\sqrt{3}$ ； $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双曲线中 $a,b,c$ 的关系 $c^2=a^2+b^2$（注意与椭圆 $a^2=b^2+c^2$ 的区别）。
• 核心方法：公式法。直接套用标准方程对应的几何性质公式。
• 避坑指南：渐近线方程的斜率 $\frac{b}{a}$ 还是 $\frac{a}{b}$ 取决于焦点在哪轴上。一个简便记忆法是将方程右侧的 $1$ 改为 $0$，即 $\frac{x^2}{2}-y^2=0\Rightarrow y^2=\frac{x^2}{2}\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a}{)}^2}$，反映了渐近线的张开程度。 *方法推广: 快速求渐近线——令标准方程右边的常数项为 0 即可。

• 相关知识点：等轴双曲线、离心率、抛物线的定义。

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