2021-浙江卷-09 单-轨迹方程

本题导读

本题考查等比数列的性质，以及求动点的轨迹方程。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）9. 已知 $a,b\in \mathbf{R},ab>0$，函数 $f(x)=a{x}^2+b(x\in \mathbf{R})$。若 $f(s-t),f(s),f(s+t)$ 成等比数列，则平面上点 $(s,t)$ 的轨迹是（ ）

A. 直线和圆$B.直线和椭圆$　C. 直线和双曲线$D.直线和抛物线$

🔍【思路分析】

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处理这道题的逻辑非常直线球，难点全在计算：

1. 翻译条件： 根据等比数列中项的性质，必定有 $f(s-t)\cdot f(s+t)=[f(s){]}^2$。
2. 代入函数式： 把 $x$ 换成对应的变量，得到一个极其庞大的关于 $s,t$ 的等式。
3. 恒等变形（核心）： 不要盲目展开所有括号！观察结构，把 $(a{s}^2+b)$ 看作一个整体，利用完全平方公式和平方差公式进行消元和提取公因式。
4. 方程定型： 化简到最后会分解成两个因式乘积为 $0$ 的形式。分别让每个因式为 $0$，结合题目条件 $ab>0$ 判断代表的是什么几何图形。

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(s-t),f(s),f(s+t)$ 成等比数列， 所以有等比中项关系式：$f(s-t)\cdot f(s+t)=[f(s){]}^2$。

代入函数 $f(x)=a{x}^2+b$，得到： $[a(s-t{)}^2+b][a(s+t{)}^2+b]=(a{s}^2+b{)}^2$

将左边括号内部的平方式展开，并重新组合（把 $a{s}^2+b$ 凑在一起）： $[a{s}^2-2ast+a{t}^2+b][a{s}^2+2ast+a{t}^2+b]=(a{s}^2+b{)}^2$ 即： $[(a{s}^2+a{t}^2+b)-2ast][(a{s}^2+a{t}^2+b)+2ast]=(a{s}^2+b{)}^2$

利用平方差公式 $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$ 展开左边： $(a{s}^2+a{t}^2+b{)}^2-(2ast{)}^2=(a{s}^2+b{)}^2$

移项，把含有 $(a{s}^2+b)$ 的部分放在一起，利用平方差进行化简： $(a{s}^2+a{t}^2+b{)}^2-(a{s}^2+b{)}^2-4a^2{s}^2{t}^2=0$ 把 $a{s}^2+b$ 看作 $A$，$a{t}^2$ 看作 $B$，则 $(A+B{)}^2-A^2=B(2A+B)$，所以上式化为： $a{t}^2[2(a{s}^2+b)+a{t}^2]-4a^2{s}^2{t}^2=0$ 展开中括号： $2a^2{s}^2{t}^2+2ab{t}^2+a^2{t}^4-4a^2{s}^2{t}^2=0$ 合并同类项，得到： $a^2{t}^4-2a^2{s}^2{t}^2+2ab{t}^2=0$

提取公因式 $a{t}^2$（因为 $ab>0$ 所以 $a\ne 0$）： $a{t}^2(a{t}^2-2a{s}^2+2b)=0$

由此可得两个分支方程： 情况一： $t^2=0⟹t=0$。这在平面直角坐标系 $s-O-t$ 中代表一条直线（即 $s$ 轴）。

情况二： $a{t}^2-2a{s}^2+2b=0$。 移项并两边同除以 $2b$，转化为标准方程形式： $2a{s}^2-a{t}^2=2b⟹\frac{a{s}^2}{b}-\frac{a{t}^2}{2b}=1⟹\frac{s^2}{\frac{b}{a}}-\frac{t^2}{\frac{2b}{a}}=1$ 因为已知 $ab>0$，这意味着 $a$ 和 $b$ 同号，所以 $\frac{b}{a}>0$ 且 $\frac{2b}{a}>0$。 这完美符合 $\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{n}=1(m>0,n>0)$ 的形式，所以它是一条双曲线。

综上所述，点 $(s,t)$ 的轨迹是直线和双曲线。 故选 C。

✅【答案】

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C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 整体代换防算错： 在这道题的化简中，如果我们把 $a(s-t{)}^2+b$ 彻彻底底拆成单独的项去硬乘，会有极大的概率算错符号或漏项。把 $a{s}^2+b$ 当成一个整体 $A$ 来处理，是跨越这道代数鸿沟的关键。
• 隐含条件的“致命一击”： 题目为什么非要给一个 $ab>0$ 的条件？就是为了在最后一步保驾护航！只有 $ab>0$，才能保证分母 $\frac{b}{a}$ 和 $\frac{2b}{a}$ 都是正数，从而确定它是双曲线。如果 $ab<0$，那方程就变成了椭圆。做压轴选择题时，题干里没有任何一个字是废话。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-14 填-Sn与an
• 2013-湖北卷理-18 解-等比数列的性质
• 2013-福建卷理-09 单-等比数列的性质