2018-浙江卷-13 填-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2018年浙江卷）在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$.若 $a=\sqrt{7}$，$b=2$，$A=60^{\circ }$，则 $\sin B=$ $\underline{}$，$c=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求 $\sin B$：已知 $a,b,A$，根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，可直接列出关于 $\sin B$ 的方程。

2. 求 $c$：已知 $a,b,A$，要求 $c$，最直接的方法是利用余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。这会构造出一个关于 $c$ 的一元二次方程，求解并根据三角形边的性质（$c>0$）进行舍选。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{\sqrt{21}}{7}$；3

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{\sqrt{21}}{7}$；3

【解析过程】

1. 计算 $\sin B$：

   由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得：

   $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{2\times \sin 60^{\circ }}{\sqrt{7}}=\frac{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

   分子分母同时有理化得：

   $\sin B=\frac{\sqrt{21}}{7}$

2. 计算 $c$：

   由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 得：

   $(\sqrt{7}{)}^2=2^2+c^2-2\times 2\times c\times \cos 60^{\circ }$

   $7=4+c^2-4c\times \frac{1}{2}$

   整理得一元二次方程：

   $c^2-2c-3=0$

   解方程 $(c-3)(c+1)=0$，得 $c_1=3$，$c_2=-1$。

   因为边长 $c>0$，所以 $c=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 定理选择：

   • 已知两边一对角，求另一对角用正弦定理。

   • 已知两边及夹角，或已知两边及其中一边对角求第三边用余弦定理。

2. 计算细节：在余弦定理求边时，经常会遇到一元二次方程，务必根据几何意义（边长为正）剔除负根。

3. 浙江卷特点：此题属于解三角形的“送分题”，计算量适中，考查对基本公式的熟练程度。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以顺便记录：当已知 $a,b,A$ 且 $A$ 为锐角时：

• 若 $a<b\sin A$，无解。

• 若 $a=b\sin A$，一解（直角）。

• 若 $b\sin A<a<b$，两解（一锐一钝）。

• 若 $a\ge b$，一解。

  本题中 $a=\sqrt{7}\approx 2.64$，$b=2$，因为 $a>b$，故只有一解，符合计算结果。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2014-广东卷理-12 填-余弦定理